【題目】如圖,在三棱錐S﹣ABC中,SA⊥底面ABC,AC=AB=SA=2,AC⊥AB,D、E分別是AC、BC的中點(diǎn),F在SE上,且SF=2FE.
(1)求證:平面SBC⊥平面SAE
(2)若G為DE中點(diǎn),求二面角G﹣AF﹣E的大小.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)利用底面證得,由等腰三角形的性質(zhì)證得,由此證得平面,進(jìn)而證得平面平面.
(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,通過平面和平面的法向量,計(jì)算出二面角的余弦值,進(jìn)而求得二面角的大小.
(1)∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥BC,
又∵AC=AB,且點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),
∴BC⊥AE,
∵SA∩AE=A,∴BC⊥底面SAE,
∵BC平面SBC,
∴平面SBC⊥平面SAE.
(2)以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AC,AB,AS為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系O﹣xyz,
則A(0,0,0),S(0,0,2),E(1,1,0),G(1,,0),C(2,0,0),B(0,2,0),
由SF=2FE得F(,,),
∴=(1,1,0),=(,),=(1,,0),=(2,﹣2,0).
設(shè)平面AFG的法向量為=(x,y,z),則,
令y=2,得到x=﹣1,z=﹣1,
即=(﹣1,2,﹣1),
設(shè)平面AFE的法向量為,
由(1)知為平面AES的一個(gè)法向量,==(2,﹣2,0),
∴cosα===,
∵二面角G﹣AF﹣E的平面角為銳角,
∴二面角G﹣AF﹣E的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD中,,,O為線段CD的中點(diǎn),將沿BO折到 的位置,使得,E為的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求直線AE與平面所成角的正弦值
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),以AB為直徑作圓,記為,與拋物線C的準(zhǔn)線始終相切.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過圓心M作x軸垂線與拋物線相交于點(diǎn)N,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在定義域上單調(diào)增,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)在定義域上不單調(diào),試判定的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并給出證明過程.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,,為橢圓上兩點(diǎn),圓.
(1)若軸,且滿足直線與圓相切,求圓的方程;
(2)若圓的半徑為2,點(diǎn),滿足,求直線被圓截得弦長的最大值.
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【題目】如圖,斜三棱柱中,是邊長為2的正三角形,為的中點(diǎn),平面,點(diǎn)在上,,為與的交點(diǎn),且與平面所成的角為.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值.
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【題目】2020年新冠肺炎疫情暴發(fā)以來,中國政府迅速采取最全面、最嚴(yán)格、最徹底的防控舉措,堅(jiān)決遏制疫情蔓延勢(shì)頭,努力把疫情影響降到最低,為全世界抗擊新冠肺炎疫情做岀了貢獻(xiàn).為普及防治新冠肺炎的相關(guān)知識(shí),某高中學(xué)校開展了線上新冠肺炎防控知識(shí)競(jìng)答活動(dòng),現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)者,他們的得分(滿分100分)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖:
(1)若此次知識(shí)競(jìng)答得分整體服從正態(tài)分布,用樣本來估計(jì)總體,設(shè),分別為這200名幸運(yùn)者得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值代替),求,的值(,的值四舍五入取整數(shù)),并計(jì)算;
(2)在(1)的條件下,為感謝大家積極參與這次活動(dòng),對(duì)參與此次知識(shí)競(jìng)答的幸運(yùn)者制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:得分低于的獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),得分不低于的獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).假定每次抽獎(jiǎng)中,抽到18元紅包的概率為,抽到36元紅包的概率為.已知高三某同學(xué)是這次活動(dòng)中的幸運(yùn)者,記為該同學(xué)在抽獎(jiǎng)中獲得紅包的總金額,求的分布列和數(shù)學(xué)期望,并估算舉辦此次活動(dòng)所需要抽獎(jiǎng)紅包的總金額.
參考數(shù)據(jù):;;.
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【題目】如圖,在長方體中,是的中點(diǎn),點(diǎn)是上一點(diǎn),,,.動(dòng)點(diǎn)在上底面上,且滿足三棱錐的體積等于1,則直線與所成角的正切值的最大值為( )
A.B.C.D.2
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【題目】某市旅游管理部門為提升該市26個(gè)旅游景點(diǎn)的服務(wù)質(zhì)量,對(duì)該市26個(gè)旅游景點(diǎn)的交通、安全、環(huán)保、衛(wèi)生、管理五項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)分,每項(xiàng)評(píng)分最低分0分,最高分100分,每個(gè)景點(diǎn)總分為這五項(xiàng)得分之和,根據(jù)考核評(píng)分結(jié)果,繪制交通得分與安全得分散點(diǎn)圖、交通得分與景點(diǎn)總分散點(diǎn)圖如下:
請(qǐng)根據(jù)圖中所提供的信息,完成下列問題:
(I)若從交通得分前6名的景點(diǎn)中任取2個(gè),求其安全得分都大于90分的概率;
(II)若從景點(diǎn)總分排名前6名的景點(diǎn)中任取3個(gè),記安全得分不大于90分的景點(diǎn)個(gè)數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(III)記該市26個(gè)景點(diǎn)的交通平均得分為安全平均得分為,寫出和的大小關(guān)系?(只寫出結(jié)果)
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