Question

【題目】如圖所示，在多面體中，平面，，點(diǎn)在上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，且.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)為，連接、，根據(jù)等比三角形的性質(zhì)可得，由線面垂直的性質(zhì)定理可得，進(jìn)而證出，利用線面垂直的判定定理可得平面，再由題意可得，，，可得，即得證.

（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以以及的垂線，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求出二面角.

（Ⅰ）如圖，取的中點(diǎn)為，連接、.

在中，因為，所以.

因為平面，平面，所以.

而，所以.

由于，所以平面.

點(diǎn)、是邊、的中點(diǎn)，所以，.

又因為，，所以∥，

因此四邊形是平行四邊形，，故平面.

（Ⅱ）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以以及的垂線，為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，.

于是，.

設(shè)是平面的一個法向量，

則由，，得，

取.

同理可求出平面的一個法向量.

于是.

故二面角的余弦值是.