如圖，在長方體AC1中，AB=BC=2，AA1=
2
，點E、F分別是面A1C1、面BC1的中心．
（1）求異面直線AF和BE所成的角；
（2）求直線AF和平面BEC所成角的余弦值．
（1）如圖，以D為坐標原點DA、DC、DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則：A（2，0，0），F(xiàn)（1，2，
2
2
）
B（2，2，0），E（1，1，
2
），C（0，2，0）
∴
AF
=(-1，2，
2
2
)，
BE
=(-1，-1，
2
)，
∴
AF
•
BE
=1-2+1=0
所以AF和BE所成的角為90°，
（2）設平面BEC的一個法向量為
n
=(x，y，z)，又
BC
=(-2，0，0)，
BE
=(-1，-1，
2
)，
則：
n
•
BC
=-2x=0
n
•
BE
=-x-y+
2
z=0
∴x=0，令z=1，則：y=
2
∴
n
=(0，
2
，1)
∴cos＜
AF
，
n
＞=
AF
•
n
|
AF
|•|
n
|
=
5
2
2
22
2
×
3
=
5
33
33

設直線AF和平面BEC所成角為θ則：Sinθ=
5
33
33

∴cosθ=
2
66
33

即直線AF和平面BEC所成角的余弦值為
2
66
33

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，等邊△SAB與直角梯形ABCD垂直，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=BC=2，AD=1．若E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點．
（1）求|
SC
+
SD
|的值；
（2）求面SCD與面SAB所成的二面角大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA=AB=1，PB=PD=
2
，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-AC-E的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面ACE．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點．
（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B1E-A1的大小為30°，求AB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，P是底面A1B1C1D1的中心，M是CD的中點，則P到平面AMD1的距離為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，所有棱長都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四邊形ABCD是菱形，其中E為BD的中點．
（1）求證：C′E∥面AB′D′；
（2）求面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值；
（3）求四棱錐B'-ABCD與D'-ABCD的公共部分體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）求二面角C1-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）試問線段A1B1上是否存在點E，使AE與DC1成60°角？若存在，確定E點位置，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設是已知的平面向量，向量，,在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，有如下四個命題:
①給定向量,總存在向量,使;
②給定向量和,總存在實數(shù)和,使;
③給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實數(shù),使;
④若=2，存在單位向量、和正實數(shù)，,使，則
其中真命題是____________.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，+=λ，則λ=　　　　．

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同步練習冊答案