Question

某校高一年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)經(jīng)過研究，證明了以下兩個(gè)結(jié)論是完全正確的：①若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對(duì)稱圖形，則函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)；②若函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對(duì)稱圖形．請(qǐng)你利用他們的研究成果完成下列問題：
（1）將函數(shù)g（x）=x³+6x²的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移16個(gè)單位，求此時(shí)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解釋式，并利用已知條件中的結(jié)論求函數(shù)g（x）圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)h(x)=log2

1-x

4x

圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象變換法則，即可得到函數(shù)平移以后的解析式，化簡(jiǎn)可知函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)已知的結(jié)論②，即可得到函數(shù)g（x）圖象的對(duì)稱中心；
（2）根據(jù)題中的結(jié)論，要求函數(shù)h（x）的對(duì)稱中心，設(shè)y=h（x+a）-b為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可求得a和b的值，從而得到h（x）圖形的對(duì)稱中心．

解答：解：（1）∵函數(shù)g（x）=x³+6x²的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移16個(gè)單位，
∴平移后的函數(shù)為y=（x-2）³+6（x-2）-16，即y=x³，
∵y=x³為奇函數(shù)，
∴y=g（x-2）-16為奇函數(shù)，
根據(jù)若函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對(duì)稱圖形，
故函數(shù)g（x）圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（-2，16）；
（2）設(shè)y=h(x+a)-b=log2

1-(x+a)

4(x+a)

-b=log2

1-a-x

4x+4a

-b是奇函數(shù)，
則log2

1-a-x

4x+4a

-b+(log2

1-a+x

-4x+4a

-b)=0，
即log2(

1-a-x

4x+4a

•

1-a+x

-4x+4a

)-2b=0，即log2

(1-a)2-x2

16a2-16x2

-2b=0，
∴

(1-a)2-x2

16a2-16x2

=22b，
化簡(jiǎn)可得（1-a）²-x²=2^2b（16a²-16x²），
即（16•2^2b-1）x²+（1-a）²-2^2b•16a²=0，
由x的任意性，可得16•2^2b-1=0，且（1-a）²-2^2b•16a²=0，
解得b=-2，a=

1

2

，
根據(jù)題意可知，函數(shù)h（x）圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(

1

2

，-2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是屬于新定義的問題，根據(jù)題中所給出的信息，分析并運(yùn)用進(jìn)行求解，解題的關(guān)鍵是審清題意，弄清題中所給的條件．屬于中檔題．