Question

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）（x≥0）到定點(diǎn)F(

1

2

，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大

1

2

，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C，
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)圓M過(guò)A（1，0），且圓心M在P的軌跡上，EF是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)弦長(zhǎng)|EF|是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式根據(jù)P到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大

1

2

，求出點(diǎn)P的軌跡方程即可；
（2）設(shè)圓心M（a，b），因?yàn)閳AM過(guò)A（1，0），所以圓的半徑為

(a-1)2+b2

，寫(xiě)出圓的方程，令x=0得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出弦長(zhǎng)為定值．

解答：解：（1）依題意，P到F(

1

2

，0)距離比P到y(tǒng)軸的距離大

1

2

，即

(x- 1 2 )2+y2

=x+

1

2

，化簡(jiǎn)得：y²=2x，
所以曲線C是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(

1

2

，0)為焦點(diǎn)的拋物線P=1曲線C方程是y²=2x；
（2）設(shè)圓心M（a，b），因?yàn)閳AM過(guò)A（1，0），
故設(shè)圓的方程（x-a）²+（y-b）²=（a-1）²+b²令x=0得：y²-2by+2a-1=0，
設(shè)圓與y軸的兩交點(diǎn)為（0，y₁），（0，y₂），
則y₁+y₂=2b，y₁•y₂=2a-1（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=（2b）²-4（2a-1）=4b²-8a+4，
M（a，b）在拋物線y²=2x上，b²=2a（y₁-y₂）²=4|y₁-y₂|=2，
所以，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)|EF|為定值2．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)根據(jù)已知條件得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，綜合運(yùn)用直線與圓的方程，以及會(huì)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．