Question

7．如圖，點P是△ABC外接圓圓O在C處的切線與割線AB的交點．
（1）若∠ACB=∠APC，求證：BC是圓O的直徑；
（2）若D是圓O上一點，∠BPC=∠DAC，AC=$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$，PC=4，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）利用PC是圓O的切線，通過∠ACP=∠ABC，得到∠APC=∠BAC，求出∠BAC=90°，說明BC是圓O的直徑．
（2）說明△APC∽△CAD，推出$\frac{AC}{CD}=\frac{AP}{AC}$，利用數(shù)據(jù)關系求解即可．

解答 （1）證明：∵PC是圓O的切線，∴∠ACP=∠ABC，
又∵∠ACB=∠APC，∴∠APC=∠BAC，
而∠PAC+∠BAC=180°，
∴∠BAC=90°，∴BC是圓O的直徑．
（2）解：∵∠BPC=∠DAC，∠ACP=∠ADC，
∴△APC∽△CAD，∴$\frac{AC}{CD}=\frac{AP}{AC}$，∴AC²=PA•CD，①
又由切割線定理PC²=PA•PB，PC=4，AB=2$\sqrt{2}$，
得PA=2$\sqrt{2}$，②
由①②得CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系的應用，考查邏輯推理能力以及三角形相似的應用，考查計算能力．