Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知?jiǎng)又本�過點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證；

（3）在（2）的條件下，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）存在；直線

【解析】

（1）根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得的值，從而求得拋物線的方程；

（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)利用拋物線的對(duì)稱性可使問題得證，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立拋物線的方程，從而利用韋達(dá)定理與斜率公式可使問題得證；

（3）首先設(shè)直線滿足題意，由此得到圓心的坐標(biāo)，然后過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，設(shè)直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為，從而根據(jù)求出的值，使問題得解.

解：（1）設(shè)拋物線的方程為

由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為

∴

∴拋物線的方程為.

（2）證明：設(shè)，

由為的中點(diǎn)，得點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)垂直于軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性知；

當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)

由，

∴

∵，，

∴

∴.

（3）設(shè)存在直線滿足題意

由（2）知圓心，過作直線的垂線，垂足為，則

設(shè)直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為，連接，則

即

.

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值，因此存在直線滿足題意.