Question

（2013•薊縣二模）若中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓

x2

2

+y2=1短軸端點(diǎn)，且該雙曲線的離心率與此橢圓的離心率之積為1，則該雙曲線的方程為（　�。�

• A．x²-y²=1
• B．y²-x²=1
• C．

  x2

  4

  -y2=1
• D．

  y2

  4

  -x2=1

Answer 1

分析：求出已知橢圓的短軸頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的頂點(diǎn)為（0，±1），從而設(shè)其方程為y²-

x2

b2

=1(b＞0)，再由已知條件算出雙曲線的離心率e=

2

，建立方程組解出b=1，從而得到所求雙曲線的方程．

解答：解：∵橢圓

x2

2

+y2=1的短軸端點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±1），
∴雙曲線的頂點(diǎn)為（0，±1），可設(shè)方程為y²-

x2

b2

=1(b＞0)
∵雙曲線的離心率等于橢圓的離心率的倒數(shù)
∴由橢圓

x2

2

+y2=1的離心率為

2

2

，得雙曲線的離心率e=

1+b2

1

=

2

解之得b=1，從而雙曲線的方程為y²-x²=1
故選：B

點(diǎn)評：本題給出雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的短軸端點(diǎn)，在已知離心率的情況下求雙曲線的方程．著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．