已知數(shù)列{an}滿足a1=數(shù)學(xué)公式,且對任意n∈N*,都有數(shù)學(xué)公式
(Ⅰ)求證:數(shù)列數(shù)學(xué)公式為等差數(shù)列;
(Ⅱ)試問數(shù)列{an}中ak-ak+1(k∈N*)是否仍是{an}中的項?如果是,請指出是數(shù)列的第幾項;如果不是,請說明理由.
(Ⅲ)令數(shù)學(xué)公式,證明:對任意n∈N*,都有不等式數(shù)學(xué)公式成立.

解:(Ⅰ)∵
∴anan+1+2an=4anan+1+2an+1,
即2an-2an+1=3anan+1,
所以
所以數(shù)列是以為首項,公差為的等差數(shù)列.
(II)由(Ⅰ)可得數(shù)列的通項公式為,所以
=
因為
當(dāng)k∈N*時,一定是正整數(shù),所以是正整數(shù).
所以ak-ak+1是數(shù)列{an}中的項,是第項.
(Ⅲ)證明:由(II)知:,
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:2n+4>(n+4)2對任意n∈N*都成立.
(1)當(dāng)n=1時,顯然25>52,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時,有2k+4>(k+4)2,
當(dāng)n=k+1時,2(k+1)+4=2•2k+4>2(k+4)2=2k2+16k+32=(k+5)2+k2+6k+7>(k+5)2
即有:也成立.
綜合(i)(ii)知:對任意n∈N*,都有不等式成立.
分析:(Ⅰ)條件可變形為anan+1+2an=4anan+1+2an+1,整理得2an-2an+1=3anan+1,兩邊同除以anan+1,可得,從而可得數(shù)列是以為首項,公差為的等差數(shù)列.
(II)由(Ⅰ)可得數(shù)列的通項公式為,所以,從而可得=.只需證明是正整數(shù)即可.
(Ⅲ)由(II)知:,.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:2n+4>(n+4)2對任意n∈N*都成立.對于當(dāng)n=k(k∈N*)時,有2k+4>(k+4)2,當(dāng)n=k+1時,2(k+1)+4=2•2k+4>2(k+4)2=2k2+16k+32=(k+5)2+k2+6k+7>(k+5)2,從而可證.
點評:本題以數(shù)列遞推式為載體,考查等差數(shù)列的定義,考查不等式的證明,解題的關(guān)鍵是正確利用遞推式求通項,掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟.
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已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

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1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
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3
2
,且an=
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54
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