Question

設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，2），右焦點(diǎn)F到點(diǎn)的距離為2．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)（0，-3）的直線l與橢圓相交于不同兩點(diǎn)M，N滿足，試求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由右焦點(diǎn)F到點(diǎn)的距離為2列式求出c的值，結(jié)合b=2和求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出兩交點(diǎn)M、N的坐標(biāo)和，從而求出線段MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，由，知點(diǎn)A在線段MN的垂直平分線上，由兩點(diǎn)式寫出AP的斜率，利用MN和AP垂直，斜率之積等于-1求直線l的斜率，則方程可求．
解答：解：（Ⅰ） 依題意，設(shè)橢圓方程為，
則其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
由|FB|=2，得，
即，故．
又∵b=2，∴a²==12，
∴所求橢圓方程為．
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線l的方程為y=kx-3（k≠0），
由，知點(diǎn)A在線段MN的垂直平分線上，
由得x²+3（kx-3）²=12
即（1+3k²）x²-18kx+15=0①
△=（-18k）²-4（1+3k²）×15=144k²-60＞0
即時(shí)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)P（x，y）
則x₁，x₂是方程①的兩個(gè)不等的實(shí)根，故有
從而有，
于是，可得線段MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為
又由于k≠0，因此直線AP的斜率為
由AP⊥MN，得
即5+6k²=9，解得，∴，
∴所求直線l的方程為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，運(yùn)用了設(shè)而不求的解題思想，訓(xùn)練了兩直線垂直的條件，是難題．