已知函數(shù)f(x)=|1-
1
x
|

(1)是否存在a<b且a,b∈[1,+∞),使得當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b]時(shí),值域?yàn)?span id="mznfjgd" class="MathJye">[
1
8
a,
1
8
b]?若存在,求出a,b的值,若不存在,說(shuō)明理由;
(2)若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)閇ma,mb](m≠0),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)利用函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,即可求得結(jié)論;
(2)分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)的值域,即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)若存在,則由于當(dāng)a,b∈[1,+∞)時(shí),f(x)=1-
1
x
在[1,+∞)單調(diào)遞增,則f(a)=
1
8
a,f(b)=
1
8
b
,可知a,b是方程x2-8x+8=0的實(shí)根,求得a=4-2
2
,b=4+2
2
滿足條件…..(6分)
(2)若存在,則易知m>0,a>0
當(dāng)a,b∈(0,1)時(shí),由于f(x)=
1
x
-1
在(0,1)單調(diào)遞減,則可得f(a)=mb,f(b)=ma,則得
1
a
-1=mb,
1
b
-1=ma
,相減得
b-a
ab
=m(b-a)
,
由于a≠b,則m=
1
ab
,所以
1
a
-1=mb=
1
a
,∴-1=0,這是不可能的,
故此時(shí)不存在實(shí)數(shù)a,b滿足條件;…(8分)
當(dāng)a∈(0,1),b∈[1,+∞)時(shí),顯然1∈[a,b],而f(1)=0則0∈[a,b],矛盾.
故此時(shí)也不存在實(shí)數(shù)a,b滿足條件;…(10分)
當(dāng)a,b∈[1,+∞)時(shí),由于f(x)=1-
1
x
在[1,+∞)單調(diào)遞增,則f(a)=ma,f(b)=mb,
∴a,b是方程mx2-x+1=0的兩個(gè)大于1的實(shí)根,
∴由△>0,
1-4m
2m
>1
可得m的取值范圍是(0,
1
4
)
.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=
3x+5,(x≤0)
x+5,(0<x≤1)
-2x+8,(x>1)
,
求(1)f(
1
π
),f[f(-1)]
的值;
(2)若f(a)>2,則a的取值范圍.

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精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x>7.
是定義域上的遞減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A、(
1
3
,1)
B、(
1
3
,
1
2
]
C、(
1
3
6
11
]
D、[
6
11
,1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數(shù).則實(shí)數(shù)a的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x-2-x2x+2-x

(1)求f(x)的定義域與值域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(3)研究f(x)的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)
,其中實(shí)數(shù)a≠1.
(1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)若f(x)在x=1處取得極值,試討論f(x)的單調(diào)性.

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