Question

（本題滿分14分）如圖，在三棱柱中，
每個側(cè)面均為正方形，為底邊的中點(diǎn)，為側(cè)棱的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

解法一：證明：（Ⅰ）設(shè)的交點(diǎn)為O,連接，連接.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823205252000300.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn),
所以 ∥且.又是中點(diǎn)，
所以 ∥且,
所以 ∥且.
所以，四邊形為平行四邊形.所以∥.
又平面,平面,則∥平面.  ………………5分
(Ⅱ)因?yàn)槿�棱柱各�?cè)面都是正方形，所以，.
所以平面.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823205252889447.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以.
由已知得，所以,
所以平面.
由（Ⅰ）可知∥，所以平面.
所以.
因?yàn)閭?cè)面是正方形，所以.
又，平面，平面,
所以平面.               ………………………………………10分
（Ⅲ）解: 取中點(diǎn)，連接. 

在三棱柱中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823205252858411.png" style="vertical-align:middle;" />平面，    
所以側(cè)面底面.
因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823205253669561.png" style="vertical-align:middle;" />是正三角形，且是中點(diǎn)，
所以，所以側(cè)面.
所以是在平面上的射影.
所以是與平面所成角.
.           …………………………………………14分
解法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)邊長為2，可求得，,

，，，，
，，.
（Ⅰ）易得，，
. 所以， 所以∥.
又平面,平面,則∥平面. ………………5分
（Ⅱ）易得，，，
所以.
所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823205256087697.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以平面.           …………………………………………… 10分
（Ⅲ）設(shè)側(cè)面的法向量為,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823205254480561.png" style="vertical-align:middle;" />, ,，，
所以，.
由  得解得
不妨令，設(shè)直線與平面所成角為．
所以.

所以直線與平面所成角的正弦值為． ………………………14分

略