Question

用二項(xiàng)式定理證明：

3²ⁿ⁺²-8n-9是64的倍數(shù)（n∈N).

Answer 1

分析：①變?yōu)槎��?xiàng)式形式；②與64聯(lián)系上.

證明：3²ⁿ⁺²-8n-9=9ⁿ⁺¹-8(n+1)-1=(8+1)ⁿ⁺¹-8(n+1)-1=8ⁿ⁺¹+C8ⁿ+C8^n-1+…+C8²++8+

C-8(n+1)-1=8²(8^n-1+C+18^n-2+…+C).

∵括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)都是自然數(shù)，和為自然數(shù)，

∴上式是64的倍數(shù)，即3²ⁿ⁺²-8n-9是64的倍數(shù).

綠色通道:利用二項(xiàng)式定理可以求余數(shù)和證明整除性問(wèn)題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.