Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求函數的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若對于任意都有成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若過點可作函數圖象的三條不同切線，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】試題分析：（1）先求導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規(guī)律，進而確定單調區(qū)間（2）先化簡不等式，利用變量分離得最小值，再利用基本不等式求最小值，即得實數的取值范圍；（3）先設切點，根據導數幾何意義建立方程，轉化為有三個不同的解，利用導數研究函數圖像，根據極值點位置確定實數的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）當時， ，得．

因為=，

所以當時， ，函數單調遞增；

當或時， ，函數單調遞減．

所以函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為和

（Ⅱ）由，得．

因為對于任意都有成立，

即對于任意都有成立，

即對于任意都有成立，

設, ,

則

等號成立當且僅當即.

所以實數的取值范圍為．

（Ⅲ）設點是函數圖象上的切點，

則過點的切線的斜率為，

所以過點的切線方程為．

因為點在切線上，

即．

若過點可作函數圖象的三條不同切線，

則方程有三個不同的實數解．

令，則函數與軸有三個不同的交點．

令，解得或．

因為， ，

所以必須，即．

所以實數的取值范圍為．