Question

設x₁和x₂是方程x²+(t-3)x+(t²-24)＝0的兩個實根,定義函數(shù)f(t)=log_m(x₁²+x₂²)(m＞1)，求函數(shù)y=f(t)的單調(diào)區(qū)間，并說明理由.

思路點撥：要想求函數(shù)y=f(t)的單調(diào)區(qū)間，首先要求函數(shù)y=f(t)的解析式及定義域.如果在整個定義域內(nèi)函數(shù)不是單調(diào)的，那就要把定義域分成幾個函數(shù)具有單調(diào)性的區(qū)間段，從而確定單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

解：根據(jù)題意，函數(shù)y=f(t)的解析式為y=f(t)=log_m(-t²-6t+57),定義域為t∈［-7,5］.

∵函數(shù)u(t)=-t²-6t+57在t∈［-7,5］上并不是單調(diào)函數(shù).

又∵函數(shù)u(t)=-t²-6t+57的對稱軸方程為t=3,

∴定義域可以分成兩部分，

即t∈［-7,5］=［-7,-3］∪［-3,5］，u(t)在［-7,-3］上是增函數(shù)，在［-3,5］上是減函數(shù).

又∵m＞1,∴函數(shù)f(u)=log_mu是增函數(shù).

∴函數(shù)y=f(t)=log_m(-t²-6t+57),當t∈［-7,-3］時為增函數(shù),當x∈［-3,5］時為減函數(shù).