Question

（本小題滿分13分）

如圖所示，在正方體中，E是棱DD1的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；

（II）在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F//平面A1BE? 證明你的結(jié)論。

 

Answer 1

（本小題滿分13分）

如圖所示，在正方體中，E是棱DD1的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；

（II）在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F//平面A1BE? 證明你的結(jié)論。

解：（Ⅰ）如圖（a）所示，取的中點(diǎn)M，連結(jié)EM，BM．

因?yàn)镋是的中點(diǎn)，四邊形為正方形，所以．

又在正方體中，

平面，所以平面，

從而BM為直線BE在平面上的射影，

為BE和平面所成的角．…………3分

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為２，則，．

于是，在中，

即直線BE和平面所成的角的正弦值為．………………………6分

（II）在棱上存在點(diǎn)F，使平面．

事實(shí)上，如圖（b）所示，分別取和的中點(diǎn)，連結(jié)．

因，且，所以四邊形為平行四邊形，

因此．又分別為，的中點(diǎn)，

所以，從而這說明共面．…………………10分

所以平面．因四邊形與皆為正方形，

分別為和的中點(diǎn)，所以,且，

因此四邊形為平行四邊形，所以．

而平面，平面，故平面．………………13分