Question

【題目】已知函數(shù)，若在處的切線為．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)，的值；

（Ⅱ）若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)其中，證明：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）求出，，建立方程，求解即可得到結(jié)論；

（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）中的結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，令

，而是偶函數(shù)，只需時(shí)，恒成立，注意，只需在單調(diào)遞增即可，若存在單調(diào)遞減，則不恒成立，轉(zhuǎn)化為研究在單調(diào)性，即可求解；

（Ⅲ）由，利用（Ⅱ）的結(jié)論，可得，．進(jìn)而得到

，將分別用，代入得到個(gè)不等式，相加即可證明結(jié)論.

（Ⅰ）由，得；

由，得．

根據(jù)題意可得，解得；

（Ⅱ）解法一：由不等式對(duì)任意恒成立知恒成立，令，

顯然為偶函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，恒成立．

，令，

，令，

顯然為上的增函數(shù)，故，

即在上單調(diào)遞增，．

①當(dāng)，即時(shí)，，

則有在上單調(diào)遞增，故，

則在上單調(diào)遞增，故，符合題意；

②當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?/span>，

故存在，使得，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，

故在上單謂遞減，故與矛盾．

綜上，．

解法二：由不等式對(duì)任意恒成立，

知恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式成立；

當(dāng)時(shí)，，令，

由于為偶函數(shù)，故只需考慮的情況即可．

當(dāng)時(shí)，．

令，，

令，，

當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，

故．

因此當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，

即有，故，

所以在上單調(diào)遞增，由洛必達(dá)法則有，故．

（Ⅲ）解法一：

，

由（Ⅱ），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

因此有，

，

以上個(gè)式子相加得

．

解法二：由（Ⅱ）知，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)同時(shí)成立．

故，

，

以上個(gè)式子相加得

．