已知函數(shù)f(x)＝a－.
(1)求證：函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；
(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（1）見解析   （2）(－∞，3]
解：(1)證明：當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，
f(x)＝a－，
設(shè)0<x1<x2，則x1x2>0，x2－x1>0，
f(x2)－f(x1)＝(a－)－(a－)＝－＝>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
(2)由題意：a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，
設(shè)h(x)＝2x＋，
則a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．
任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，
h(x1)－h(huán)(x2)＝(x1－x2)(2－)．
∵1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1，
∴2－>0，∴h(x1)<h(x2)，
∴h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
故a≤h(1)即a≤3，
∴a的取值范圍是(－∞，3]．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，
（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（  ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，4]B．[4，＋∞)
C．[－4,4]D．(－4,4]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，y＝f(x)單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題：
①f(2)＝0；
②x＝－4為函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸；
③函數(shù)y＝f(x)在[8,10]上單調(diào)遞增；
④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝－8.
以上命題中所有正確命題的序號(hào)為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)
A．(－∞，2]B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)為定義域在R上的偶函數(shù)，且在的大小順序?yàn)椋?） 
A．B．
C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上且以3為周期的奇函數(shù)，當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝ln(x2－x＋1)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)
A．3 B．5 C．7D．9

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