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已知邊長為2的菱形ABCD,如圖(a)所示,∠BAD=60°,過D點作DE⊥AB于E點,現沿著DE折成一個直二面角,如圖(b)所示;
(1)求AC與BD所成角的余弦值;
(2)求點D到平面ABC的距離;
(3)連接CE,在CE上取點G,使EG=
2
7
7
,連接BG,求證:AC⊥BG.
分析:(1)以E點為原點,以EA為x軸,EB為y軸,ED為z軸建立空間直角坐標系,分別求向量
AC
BD
,最后根據向量的夾角公式可求出AC與BD所成角的余弦值;
(2)先求平面ABC的一個法向量
n
,以及向量
DB
,設D到平面ABC的距離為d,然后根據d=
n
DB
|
n
|
進行求解;
(3)先求出點G的坐標,然后根據向量
BG
AC
的數量積為0,判定AC與BG垂直.
解答:解:(1)以E點為原點,以EA為x軸,EB為y軸,ED為z軸建立空間直角坐標系,
則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,2,
3
),D(0,0,
3
)

AC
=(-1,2,
3
),
BD
=(0,-1,
3
)∴
AC
BD
=1

|
AC
|=2
2
,|
BD
|=2
,
設AC與BD所成的角為θ,則cosθ=
AC
BD
|
AC
|•|
BD
=
2
8
…(4分)
(2)設平面ABC的法向量為
n
=(x,y,z)
,則有
n
AC
=0
n
BC
=0

n
=(-
3
,-
3
,1)

DB
=(0,1,-
3
)
,
設D到平面ABC的距離為d,則d=
n
DB
|
n
|
=
2
21
7
…(8分)
(3)可求得cos∠BEC=
2
7
7
,sin∠BEC=
21
7
G(0,
4
7
,
2
3
7
)

BG
=(0,-
3
7
2
3
7
)

BG
AC
=0

BG
AC
…(12分)
點評:本題主要考查了利用空間向量的方法解決立體幾何問題,同時考查了計算能力,屬于中檔題.
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