【題目】(2015·湖北）一種畫橢圓的工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈
與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且，．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時，帶動N繞轉(zhuǎn)動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C．以O(shè)為原點，AB所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（2）（Ⅱ）設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與橢圓有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．

【答案】
（1）


（2）

8


【解析】 （Ⅰ）因為,當(dāng)M,N在x軸上時，等號成立；同理，當(dāng)重合，即軸時，等號成立，所以橢圓的中心為原點，長半軸長為4，短半軸為2，其方程為。
（Ⅱ）（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為或，都有.
(2)當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線,由消去,可得.因為直線總與橢圓有且只有一個公共點，所以,即.又由可得;同理可得.由原點到直線的距離為和,.②將①代入②得，.當(dāng)時,；當(dāng)時，.因,則,,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。所以時，的最小值為8.
綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個頂點處相切時，的面積取得最小值8.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2015·江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓(a>b>0)的離心率為，且右焦點F到左準(zhǔn)線l的距離為3.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過F的直線與橢圓交于A ， B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于 點P ， C ， 若PC=2AB ， 求直線AB的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2015福建)如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A,B的點，PO垂直于圓O所在的平面，且PO=OB=1．

（1）若D為線段AC的中點，求證AC平面PDO；
（2）求三棱錐P-ABC體積的最大值；
（3）若BC=，點E在線段PB上，求CE+OE的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè),求解下列問題：（1）求 的單調(diào)區(qū)間；（2）在銳角 △ A B C 中，角 ∠ A , B , C ,的對邊分別為 a , b , c ,若 = 0 , a = 1 ,求 △ A B C 面積的最大值.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）在銳角中，角,的對邊分別為,若,求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加. 現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.
（1）設(shè)為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件發(fā)生的概率
（2）設(shè)為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是
A.y=COSx
B.y=SINx
C.y=lnx
D.y=+1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓E的方程為+=1(ab0),點O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（a，0），點B的坐標(biāo)為（0，b），點M在線段AB上，滿足=2,直線OM的斜率為。
（1）求E的離心率e。
（2）設(shè)點C的坐標(biāo)為（0，-b），N為線段AC的中點，點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標(biāo)為，求E的方程

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐A-EFCB中，為等邊三角形，平面AEF平面EFCB，，
，，，O為EF的中點．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角F-AE-B的余弦值；
（Ⅲ）若BE平面AOC，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為調(diào)查了解某省屬師范大學(xué)師范類畢業(yè)生參加工作后，從事的工作與教育是否有關(guān)的情況，該校隨機調(diào)查了該校80位性別不同的2016年師范類畢業(yè)大學(xué)生，得到具體數(shù)據(jù)如表：

與教育有關(guān)

與教育無關(guān)

合計

男

30

10

40

女

35

5

40

合計

65

15

80


（1）能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“師范類畢業(yè)生從事與教育有關(guān)的工作與性別有關(guān)”？ 參考公式： （n=a+b+c+d）．
附表：

P（K2≥k0）

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.023

6.635


（2）求這80位師范類畢業(yè)生從事與教育有關(guān)工作的頻率；
（3）以（2）中的頻率作為概率．該校近幾年畢業(yè)的2000名師范類大學(xué)生中隨機選取4名，記這4名畢業(yè)生從事與教育有關(guān)的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望E（X）．

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