Question

已知多面體中，平面，平面，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的余弦值的大小.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）直線與平面所成角的余弦值為.

試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明平面，進(jìn)而得到；（2）法一是利用四邊形為平行四邊形得到，于是得到點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等，證明平面，由于點(diǎn)為的中點(diǎn)，由中位線原理得到點(diǎn)到平面的距離為線段長(zhǎng)度的一半，于是計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)直線與平面所成角的原理計(jì)算出直線與平面所成角的正弦值，進(jìn)一步求出該角的余弦值；法二是分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出直線與平面所成角的正弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出這個(gè)角的余弦值.
試題解析：（1）如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、、，

、分別為、的中點(diǎn)，則，
由于平面，平面，，
又，，，，所以，平面，
平面，，
，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，
，平面，
平面，；
（2）法一：由（1）知，故四邊形為平行四邊形，，
故點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，如下圖所示，連接、，
取的中點(diǎn)，連接，

由于平面，且平面，，
，
同理，，
因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，，
由于，故為等邊三角形，
為的中點(diǎn)，，，
由于四邊形為平行四邊形，所以，，，
，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025603600648.png" style="vertical-align:middle;" />，平面，
、分別為、的中點(diǎn)，，平面，
且，故點(diǎn)到平面的距離為，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
，故直線與平面所成角的余弦值為；
法二：分別以、、為、、軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
設(shè)，則，，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角的余弦值為；