Question

已知函數(shù)(其中)，為f(x)的導(dǎo)函數(shù).
（1）求證：曲線y=在點(diǎn)(1，)處的切線不過點(diǎn)(2，0)；
（2）若在區(qū)間中存在，使得，求的取值范圍；
（3）若，試證明：對(duì)任意，恒成立.

Answer 1

（1）參考解析；（2）； （3）參考解析

試題分析：（1）由函數(shù)(其中)，求出，由于求y=在點(diǎn)(1，)處的切線方程，由點(diǎn)斜式可得結(jié)論.
（2）由，再利用分離變量即可得到.在再研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.
（3）由可得.需證任意，恒成立，等價(jià)證明.然后研究函數(shù)，通過求導(dǎo)求出函數(shù)的最大值.研究函數(shù)，通過求導(dǎo)得出函數(shù)的.再根據(jù)不等式的傳遞性可得結(jié)論.
（1）由得，，
所以曲線y=在點(diǎn)(1，)處的切線斜率為，
，曲線y=切線方程為，
假設(shè)切線過點(diǎn)(2，0)，代入上式得：，得到0=1產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，
故曲線y=在點(diǎn)(1，)處的切線不過點(diǎn)(2，0）   4分
（2）由得
，，所以在(0，1]上單調(diào)遞減，故    7分
（3）令，當(dāng)=1時(shí)，，所以..
因此，對(duì)任意，等價(jià)于.    9分
由，.所以.
因此，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減.
所以的最大值為，故.            12分
設(shè)，，所以時(shí)，單調(diào)遞增，，
故時(shí)，，即.
所以.
因此，對(duì)任意，恒成立         14分