已知拋物線C:,定點(diǎn)M(0,5),直線與軸交于點(diǎn)F,O為原點(diǎn),若以O(shè)M為直徑的圓恰好過與拋物線C的交點(diǎn).
（1）求拋物線C的方程;
（2）過點(diǎn)M作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),連AF,BF延長(zhǎng)交拋物線分別于,求證: 拋物線C分別過兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q在一條定直線上運(yùn)動(dòng).
（1）拋物線C的方程為；（2）詳見解析．

試題分析：（1）求拋物線C的方程，只需求出的值即可，由已知可知直線與軸的交點(diǎn)為拋物線C的焦點(diǎn)，又以為直徑的圓恰好過直線拋物線的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為，則，故，即，解得，從而可得拋物線C的方程；（2）,求證: 拋物線C分別過兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q在一條定直線上運(yùn)動(dòng)，找出交點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)即可，故需求出過兩點(diǎn)的切線的方程，而與有關(guān)，故可設(shè)出直線AB的方程為（斜率一定存在），再設(shè)出,，利用三點(diǎn)共線可得，，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出斜率，得過點(diǎn)的切線方程為:，過點(diǎn)的切線方程為:，解出，結(jié)合，得，即得，從而得證。
試題解析：（1）直線與軸的交點(diǎn)為拋物線C的焦點(diǎn),又以為直徑的圓恰好過直線拋物線的交點(diǎn),,
所以拋物線C的方程為
（2）由題意知直線AB的斜率一定存在,設(shè)直線AB的方程為,
又設(shè),
共線,,
,,同理可求
,過點(diǎn)的切線的斜率為,切線方程為:,
同理得過點(diǎn)的切線方程為:,聯(lián)立得:
由
,即點(diǎn)Q在定直線上運(yùn)動(dòng).
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓，左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)，為正三角形且周長(zhǎng)為6，直線與橢圓相交于兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：經(jīng)過如下五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)：，，，，.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓上不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在的外部，且為直角三角形，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示,已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,且到直線的距離等于橢圓的短軸長(zhǎng).

(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 若圓的圓心為(),且經(jīng)過、,是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)且在圓外,過作圓的切線,切點(diǎn)為,當(dāng)的最大值為時(shí),求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線：和⊙：，過拋物線上一點(diǎn)作兩條直線與⊙相切于、兩點(diǎn)，分別交拋物線為E、F兩點(diǎn)，圓心點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為．

（1）求拋物線的方程；
（2）當(dāng)的角平分線垂直軸時(shí)，求直線的斜率；
（3）若直線在軸上的截距為，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)直線與雙曲線交于A、B，且以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的漸近線方程為(    )
A．B．
C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

過橢圓的左頂點(diǎn)的斜率為的直線交橢圓于另一個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍是_____________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)且切斜率為1的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為_____________________.

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