Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n²-（a_n+2）S_n+1=0，1-S_n=a_nb_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若正項(xiàng)數(shù)列{c_n}滿足cn≤

a

1+(bn-1)a

(n∈N*，0＜a＜1)，求證：

n

k=1

ck

k+1

＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求a₁，a₂的值只需要把n=1，2時(shí)代入即可順利解答；
（Ⅱ）求通項(xiàng)公式需要利用重要性質(zhì)：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，本題這一問(wèn)利用這個(gè)結(jié)論可以得到含S_n，S_n-1的關(guān)系式，求出前幾項(xiàng)S₁，S₂，S₃，猜想出S_n，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
（Ⅲ）利用（II）的結(jié)論以及條件1-S_n=a_nb_n很容易得到 b_n的關(guān)系式，然后利用放縮法解答證明這一問(wèn)，需要適當(dāng)?shù)淖冃危?/div>

解答：解：（Ⅰ）S12-(a1+2)S1+1=0?a1=

1

2

，

S

2 2

-(a2+2)S2+1=0?a2=

1

6

…（3分）
（Ⅱ） S_n²-（a_n+2）S_n+1=0…①
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1代入①式得S_nS_n-1-2S_n+1=0…②…（5分）
由 （Ⅰ） 知S1=

1

2

，S2=a1+a2=

2

3

，S3=

1

2-S2

=

3

4

猜想Sn=

n

n+1

…（6分）
下用數(shù)學(xué)歸納法證明
（1°）n=1已證明；
（2°）假設(shè)n=k，Sk=

k

k+1

則n=k+1時(shí)S_k+1S_k-2S_k+1=0Sk+1=

1

2- k k+1

=

k+1

k+1+1

成立
綜合1°，2°猜想成立．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

1

n(n+1)

，當(dāng)n=1時(shí)也滿足，故an=

1

n(n+1)

，(n∈N*)
（Ⅲ）由（Ⅱ） b_n=n，cn≤

a

1+(n-1)a

=

1

1 a +n-1

＜

1

n

，則

n

k=1

ck

k+1

＜

n

k=1

1

k(k+1)

=1-

1

n+1

＜1…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的概念以及求數(shù)列通項(xiàng)的知識(shí)，第（I）問(wèn)屬于低檔題目，第（II）問(wèn)中要先求出S_n的關(guān)系式，再來(lái)求{a_n}的通項(xiàng)公式，再遞推式S_nS_n-1-2S_n+1=0比較煩瑣又很難歸求出S_n的關(guān)系式時(shí)，可以先求出前幾項(xiàng)，猜想出S_n的公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明之，這是一個(gè)不錯(cuò)的解題思路．本題還綜合考查了不等式的放縮法，分離法求數(shù)列前n項(xiàng)和這個(gè)重要考點(diǎn)！