Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是x軸上方橢圓E上的一點(diǎn)，且PF₁⊥F₁F₂，，．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程和P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）判斷以PF₂為直徑的圓與以橢圓E的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系；
（Ⅲ）若點(diǎn)G是橢圓C：上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C的一個焦點(diǎn)，探究以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由P在橢圓E上，知a=2．由PF₁⊥F₁F₂，知．由此能求出橢圓E的方程和P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（Ⅱ）線段PF₂的中點(diǎn)，以為圓心PF₂為直徑的圓M的方程為．以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為：x²+y²=4，由此可知兩圓相內(nèi)切．
（Ⅲ）以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓相內(nèi)切．設(shè)F'是橢圓C的另一個焦點(diǎn)，其長軸長為2m（m＞0），點(diǎn)G是橢圓C上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C的一個焦點(diǎn)，有|GF|+|GF'|=2m，由此能夠?qū)С鰞蓤A內(nèi)切．
解答：解：（Ⅰ）∵P在橢圓E上∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，…．（1分）
∵PF₁⊥F₁F₂，∴，…．（2分）
2c=2，c=1，∴b²=3．
所以橢圓E的方程是：…．（4分）
∵F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），∵PF₁⊥F₁F₂∴…．（5分）
（Ⅱ）線段PF₂的中點(diǎn)
∴以為圓心PF₂為直徑的圓M的方程為
圓M的半徑…．（8分）
以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為：x²+y²=4，圓心為O（0，0），半徑為R=2
圓M與圓O的圓心距為所以兩圓相內(nèi)切  …（10分）
（Ⅲ）以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓相內(nèi)切           …（11分）
設(shè)F'是橢圓C的另一個焦點(diǎn)，其長軸長為2m（m＞0），
∵點(diǎn)G是橢圓C上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C的一個焦點(diǎn)，
則有|GF|+|GF'|=2m，則以GF為直徑的圓的圓心是M，圓M的半徑為，
以橢圓C的長軸為直徑的圓O的半徑R=m，
兩圓圓心O、M分別是FF'和FG的中點(diǎn)，
∴兩圓心間的距離，所以兩圓內(nèi)切．…．（14分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓E的方程和P點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，判斷兩圓的位置關(guān)系，探究以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系．解題時要認(rèn)真審題材，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．