【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2,4).
(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn),且BC=OA,求直線l的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q,使得 + = ,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵N在直線x=6上,∴設(shè)N(6,n),

∵圓N與x軸相切,∴圓N為:(x﹣6)2+(y﹣n)2=n2,n>0,

又圓N與圓M外切,圓M:x2+y2﹣12x﹣14y+60=0,即圓M:(x﹣6)2+(x﹣7)2=25,

∴|7﹣n|=|n|+5,解得n=1,

∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣6)2+(y﹣1)2=1


(2)解:由題意得OA=2 ,kOA=2,設(shè)l:y=2x+b,

則圓心M到直線l的距離:d= = ,

則|BC|=2 =2 ,BC=2 ,即2 =2 ,

解得b=5或b=﹣15,

∴直線l的方程為:y=2x+5或y=2x﹣15


(3)解: = ,即 ,即| |=| |,

| |= ,

又| |≤10,即 ≤10,解得t∈[2﹣2 ,2+2 ],

對于任意t∈[2﹣2 ,2+2 ],欲使

此時(shí),| |≤10,

只需要作直線TA的平行線,使圓心到直線的距離為

必然與圓交于P、Q兩點(diǎn),此時(shí)| |=| |,即 ,

因此實(shí)數(shù)t的取值范圍為t∈[2﹣2 ,2+2 ]


【解析】(1)設(shè)N(6,n),則圓N為:(x﹣6)2+(y﹣n)2=n2 , n>0,從而得到|7﹣n|=|n|+5,由此能求出圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由題意得OA=2 ,kOA=2,設(shè)l:y=2x+b,則圓心M到直線l的距離:d= ,由此能求出直線l的方程.(3) = ,即| |= ,又| |≤10,得t∈[2﹣2 ,2+2 ],對于任意t∈[2﹣2 ,2+2 ],欲使 ,只需要作直線TA的平行線,使圓心到直線的距離為 ,由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】利用圓的一般方程對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知圓的一般方程的特點(diǎn):(1)①x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.②沒有xy這樣的二次項(xiàng);(2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個(gè)系數(shù),圓的方程就確定了;(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征較明顯.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 滿足an=2 ﹣1.若對任意的正整數(shù)p、q(p≠q),不等式SP+Sq>kSp+q恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若函數(shù)y=ksin(kx+φ)(k>0,|φ|< )與函數(shù)y=kx﹣k2+6的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)=sin(kx﹣φ)+cos(kx﹣φ)圖象的一條對稱軸的方程可以為(
A.x=﹣
B.x=
C.x=
D.x=﹣

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)P(﹣5,a)作圓x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的兩條切線,切點(diǎn)分別為M(x1 , y1),N(x2 , y2),且 + =0,則實(shí)數(shù)a的值為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1滿足f(﹣1)=0,且x∈R時(shí),f(x)的值域?yàn)閇0,+∞).
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)﹣2kx,k∈R. ①若g(x)在x∈[﹣2,2]時(shí)是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
②若g(x)在x∈[﹣2,2]上的最小值g(x)min=﹣15,求k值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓C:x2+y2=12,直線l:4x+3y=25.求圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:以點(diǎn) 為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O,A,與y軸交于點(diǎn)O、B,其中O為原點(diǎn),
(1)求證:△OAB的面積為定值;
(2)設(shè)直線y=﹣2x+4與圓C交于點(diǎn)M,N,若OM=ON,求圓C的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R) (Ⅰ)證明直線l經(jīng)過定點(diǎn)并求此點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)若直線l不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍;
(Ⅲ)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)△AOB的面積為S,求S的最小值及此時(shí)直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直二面角D﹣AB﹣E中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,AE=EB,F(xiàn)為CE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE. (Ⅰ)求證:AE⊥平面BCE;
(Ⅱ)求二面角B﹣AC﹣E的余弦值;
(Ⅲ)求點(diǎn)D到平面ACE的距離.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案