Question

設甲、乙、丙三人進行圍棋比賽，每局兩人參加，沒有平局．在一局比賽中，甲勝乙的概率為

3

5

，甲勝丙的概率為

3

4

，乙勝丙的概率為

2

3

．比賽順序為：首先由甲和乙進行第一局的比賽，再由獲勝者與未參加比賽的選手進行第二局的比賽，依此類推，在比賽中，有選手獲勝滿兩局就取得比賽的勝利，比賽結(jié)束．
（1）求只進行了三局比賽，比賽就結(jié)束的概率；
（2）記從比賽開始到比賽結(jié)束所需比賽的局數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列和數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）只進行三局比賽，即丙獲勝比賽就結(jié)束，由互斥，獨立事件的概率公式可得；（2）由題意可得ξ=2，3，4，分別可得其概率，可得分布列，可得期望．

解答：解：（1）由題意只進行三局比賽，即丙獲勝比賽就結(jié)束，
故可得所求的概率為P=

3

5

×

1

4

×

1

3

+

2

5

×

1

3

×

1

4

=

1

12

（2）由題意可得ξ=2，3，4，且P(ξ=2)=

3

5

×

3

4

+

2

5

×

2

3

=

43

60

，
P(ξ=3)=

3

5

×

1

4

×

1

3

+

2

5

×

1

3

×

1

4

=

1

12

，P(ξ=4)=

3

5

×

1

4

×

2

3

+

2

5

×

1

3

×

3

4

=

12

60

=

1

5

故ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	43 60	1 12	1 5

故數(shù)學期望Eξ=2×

43

60

+3×

1

12

+4×

1

5

=

149

60

點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列，以及數(shù)學期望的求解，屬中檔題．