求函數(shù)y=2a在x∈(0，1上的最大值(其中a∈R)．

 

答案：
解析：

令t=，則求f(t)=2at-在(0，1]上的最大值．

　　當(dāng)a≥0時(shí)，顯然f(t)在(0，1]上為增函數(shù)

　　所以fmax(t)=f(1)=2a-1

　　當(dāng)a＜0時(shí)，令f′(t)=2a+=0

　　得t=-，易知t∈時(shí)

　　f′(t)＞0，f(t)為增函數(shù)

　　t∈時(shí)，f′(t)＜0，f(t)為減函數(shù)．于是若-1≤a＜0(此時(shí)-≥1)

　　則f(t)在(0，1]上為增函數(shù)

　　此時(shí)fmax(t)=f(1)=2a-1

　　若a＜-1(此時(shí)-＜1

　　則f(t)在上為增函數(shù)

　　在上為減函數(shù)

　　所以fmax(t)=f()=

　　由以上討論知當(dāng)a≥-1時(shí)

　　fmax(t)=f(1)=2a-1

　　a＜-1時(shí)，fmax(t)=

 


提示：

從本例題可以看出，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，其求解過(guò)程思路流暢、簡(jiǎn)捷，便于掌握．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）=
lnx
x
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=
1
e
處的切線(xiàn)方程；
（2）求y=f（x）的最大值；
（3）設(shè)實(shí)數(shù)a＞0，求函數(shù)F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x|x-2a|，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解方程f（x）=0；
（2）當(dāng)0＜a＜3時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，7]的最大值g（a）；
（3）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（m，n）上既有最大值又有最小值，請(qǐng)分別求出m，n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-3ax2-3（2a+1）x-3，x∈R，a是常數(shù)．
（1）若a=
12
，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-3，3）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若?x＞-1，f′（x）＞-3恒成立，試證明a＜0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
ax2+2x，g（x）=lnx．
（1）求函數(shù)y=xg（x）-2x的單調(diào)增區(qū)間．
（2）如果函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a＞0，使得方程
g(x)
x
=f′（x）-（2a+1）在區(qū)間（
1
e
，e）內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？若存在，請(qǐng)求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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