Question

若y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x-1）是奇函數(shù)，且當(dāng)0＜x≤1時，f（x）=lgx，則方程f（x）=2012在區(qū)間（-6，10）內(nèi)的所有實數(shù)根之和為（　　）

A．8

B．12

C．16

D．24

Answer 1

分析：由f（x）是偶函數(shù)說明函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，再由f（x-1）是奇函數(shù)說明函數(shù)圖象關(guān)于點（-1，0）對稱，因此可以證明出函數(shù)的周期為4．畫出函數(shù)f（x）的圖象，只要找出函數(shù)f（x）的圖象與y=2012在區(qū)間（-6，10）內(nèi)交點的情況，就不難找到f（x）=2012在區(qū)間（-6，10）內(nèi)的所有實根之和了．

解答：解：由①知f（-x）=f（x），由②知f（-x-1）=-f（x-1），即函數(shù)圖象關(guān)于（-1，0）對稱；
由①②得：f（-x-2）=-f（x）=-f（-x）
∴f（x-2）=-f（x），∴f（x-4）=-f（x-2）-f（x）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為4
∵當(dāng)0＜x≤1時，f（x）=lgx，∴函數(shù)f（x）在一個周期（-2，2）上的圖象如圖：
由圖象數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)x∈（-6，6）時，即三個連續(xù)周期上，方程f（x）=2012有6個關(guān)于y軸對稱的根，其和為0
當(dāng)x∈（6，10）時，方程f（x）=2012有2個關(guān)于x=8對稱的根，其和為2×8=16
故方程f（x）=2012在區(qū)間（-6，10）內(nèi)的所有實數(shù)根之和為0+16=16
故選C

點評：本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用以及函數(shù)圖象的對稱性與奇偶性等知識點，充分利用函數(shù)的奇偶性與周期性，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題