Question

已知函數(shù)f（x）是（0，+∞）上可導函數(shù)，且xf′（x）＞f（x）在x＞0時恒成立，又g（x）=ln（1+x）-x（x＞-1）
①求g（x）的最值
②求證x₁＞0，x₂＞0時f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）并猜想一個一般結(jié)論，加以證明
③求證

1

22

ln22+

1

32

ln32+…+

1

(n+1)2

ln(n+1)2＞

n

2(n+1)(n+2)

(n∈N*)．

Answer 1

分析：①依題意，通過g′（x）=-

x

1+x

，可求得當x=0時，g（x）=ln（1+x）-x取得極大值，也是最大值，無最小值；
②令h（x）=

f(x)

x

，利用其導數(shù)可判斷函數(shù)h（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，從而可證x₁f（x₁+x₂）＞（x₁+x₂）f（x₁），同理可證x₂f（x₁+x₂）＞（x₁+x₂）f（x₂），二式相加即可證得結(jié)論；作出猜想：x_i＞0（i=1，2，3，…，n）時，有：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_n）（n≥2）恒成立．用數(shù)學歸納法證明即可；
③利用數(shù)學歸納法證明：當n=1時，易證不等式成立，假設(shè)n=k時不等式成立，用好歸納假設(shè)，去推證n=k+1時不等式亦成立即可．

解答：解：①∵g′（x）=

1

1+x

-1=-

x

1+x

，
∵當-1＜x＜0時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當x＞0時，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
∴當x=0時，g（x）=ln（1+x）-x取得極大值，由極值的唯一性知，也是最大值，無最小值．
∴g（x）_max=g（0）=0．
②∵函數(shù)f（x）是（0，+∞）上可導函數(shù)，且xf′（x）＞f（x）在x＞0時恒成立，
令h（x）=

f(x)

x

，則h′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0在x＞0時恒成立，
∴函數(shù)h（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴當x₁＞0，x₂＞0時，有x₁+x₂＞0，
∴h（x₁+x₂）＞h（x₁），即

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，
∴x₁f（x₁+x₂）＞（x₁+x₂）f（x₁），
同理可得x₂f（x₁+x₂）＞（x₁+x₂）f（x₂），
∴（x₁+x₂）f（x₁+x₂）＞（x₁+x₂）（f（x₁）+f（x₂）），
∴f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）（x₁＞0，x₂＞0）．
于是可猜想：x_i＞0（i=1，2，3，…，n）時，有：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_n）（n≥2）恒成立．
下面證明：則當n=2時，由f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）（x₁＞0，x₂＞0）知結(jié)論成立；
假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_k）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_k），
則n=k+1時，f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_k）+f（x_k+1）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_k）+f（x_k+1）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_k+1），
即n=k+1時，結(jié)論也成立，
綜上所述，x_i＞0（i=1，2，3，…，n）時，有：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_n）（n≥2）恒成立．
③用數(shù)學歸納法證明：
（ⅰ）當n=1時，左=

1

22

ln2²=

1

4

ln4，
右=

1

2×2×3

=

1

4

•

1

3

，由于ln⁴＞1＞

1

3

，
∴

1

4

ln4＞

1

4

•

1

3

，即原不等式成立．
（ⅱ）假設(shè)n=k時，命題成立．即：

1

22

ln2²+

1

32

ln3²+…+

1

(k+1)2

ln（k+1）²＞

k

2(k+1)(k+2)

，
那么：

1

22

ln2²+

1

32

ln3²+…+

1

(k+1)2

ln（k+1）²+

1

[(k+1)+1]2

ln[（k+1）+1]²＞

k

2(k+1)(k+2)

+

1

[(k+1)+1]2

ln[（k+1）+1]²
=

k+1

2(k+2)(k+3)

-

k+1

2(k+2)(k+3)

+

k

2(k+1)(k+2)

+

1

[(k+1)+1]2

ln[（k+1）+1]²
=

k+1

2(k+2)(k+3)

+

1

2(k+2)

•（

k

k+1

-

k+1

k+3

）+

1

(k+2)2

ln（k+2）²
=

k+1

2(k+2)(k+3)

+

1

2(k+2)

•

k-1

(k+1)(k+3)

+

1

(k+2)2

ln（k+2）²≥

k+1

2(k+2)(k+3)

，
這就是說，當n=k+1時，命題也成立．
由（�。�（ⅱ）可知，對一切n∈N^*，都有

1

22

ln2²+

1

32

ln3²+…+

1

(n+1)2

ln（n+1）²＞

n

2(n+1)(n+2)

成立．

點評：本題綜合考查了導數(shù)的四則運算，利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，以及利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式的方法，屬于難題．