已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1

(1)求f(x)的最小正周期及振幅;
(2)試判斷f(
π
6
-x)
f(
π
6
+x)
的大小關(guān)系,并說明理由.
(3)若x∈[-
π
6
,
π
3
]
,求f(x)的最大值和最小值.
分析:(1)由y=Asin(ωx+φ)型函數(shù)中參數(shù)的幾何意義及周期計算公式,即可得f(x)的最小正周期及振幅;(2)可以利用誘導(dǎo)公式分別化簡兩個函數(shù)式來進(jìn)行證明,也可先證明x=
π
6
是函數(shù)的一條對稱軸,從而證明兩式相等;(3)先求內(nèi)層函數(shù)的值域,再利用正弦函數(shù)的圖象求函數(shù)f(x)在[-
π
6
π
3
]
上的最大值和最小值
解答:解:(1)f(x)的最小正周期為T=
2
,振幅A=2
(2)f(
π
6
+x)
=f(
π
6
-x)

法一:因為f(
π
6
+x)
=2sin(
π
3
+2x+
π
6
)+1=2sin(2x+
π
2
)+1=2cos2x+1

f(
π
6
-x)
=2sin(
π
3
-2x+
π
6
)+1=2sin(
π
2
-2x)+1=2cos2x+1

所以f(
π
6
+x)
=f(
π
6
-x)

法二:因為f(
π
6
)=2sin(
π
3
+
π
6
)+1=2sin
π
2
+1=3
為函數(shù)的最大值,
所以x=
π
6
是函數(shù)的一條對稱軸,所以f(
π
6
+x)
=f(
π
6
-x)

(2)∵x∈[-
π
6
,
π
3
]

-
π
6
≤2x+
π
6
6

-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1

-1≤2sin(2x+
π
6
)≤2
,
∴0≤f(x)≤3
∴f(x)的最小值為0; f(x)的最大值為3.
點評:本題考查了y=Asin(ωx+φ)型函數(shù)的圖象和性質(zhì),函數(shù)的對稱性和函數(shù)值域的求法,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
;
(1)求出函數(shù)f(x)的對稱中心;
(2)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為減函數(shù);
(3)是否存在負(fù)數(shù)x0,使得f(x0)=3x0成立,若存在求出x0;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1,x≤0
x
,x>0
,則f[f(-2)]=
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x

(1)求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期;
(2)當(dāng)x∈[0,2π]時,求使f(x)=
3
成立的x的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)
的圖象過點(4,-1)
(1)求a的值;
(2)求證:f(x)在其定義域上有且只有一個零點;
(3)若f(x)+mx>1對一切的正實數(shù)x均成立,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
3
-x)
,x∈[0,2π],則當(dāng)x=
3
3
時,函數(shù)f(x)有最大值,最大值為
2
3
2
3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案