Question

已知函數(shù)．
（1）若f（x）在x=2時取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求證：當(dāng)x＞1時，．

Answer 1

【答案】分析：（1）若（x）在x=2時取得極值，則f′（2）=0，根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，代入即可構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可得到答案．
（2）由已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論a在不同取值時，導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間上的符號，即可確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）構(gòu)造函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)法判斷其在定義上的單調(diào)性后，易得g（x）＞0恒成立，進(jìn)而得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵．
∴
又∵f（x）在x=2時取得極值，
∴，解得a=4
（2）∵，（x＞0）
當(dāng)a＜0時，又由x＞0，易得f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)a＜0時，（0，+∞）為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)a=0，f（x）=x²，當(dāng)x∈[0，+∞）時，f′（x）≥0，f（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)a=0時，[0，+∞）為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)a＞0時，當(dāng)x∈（0，）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)a＜0時，（0，）為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，（，+∞）為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）令g（x）=，
則g′（x）===
∵當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0
故在（1，+∞）上，g（x）=為增函數(shù)
即當(dāng)x＞1時，g（x）＞g（1）=＞0
故當(dāng)x＞1時，．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而確定導(dǎo)函數(shù)的符號是解答此類問題的關(guān)鍵．