【題目】已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1=2,{an}的前n項和為Sn , 數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n﹣1)2n+2+4對任意的n∈N*恒成立.
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;
(2)是否存在非零整數(shù)λ,使不等式sin < 對一切n∈N*都成立?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.
(3)各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列{cn},滿足c39=a1007 , 且存在正整數(shù)k,使c1 , c39 , ck成等比數(shù)列,若數(shù)列{cn}的公差為d,求d的所有可能取值之和.
【答案】
(1)解:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為q,
∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n﹣1)2n+2+4,
令n=1,2,3,分別得a1b1=4,a1b1+a2b2=20,a1b1+a2b2+a3b3=68,
又a1=2,
∴ ,即 ,解得 或 .
經(jīng)檢驗d=q=2符合題意, 不合題意,舍去.
∴an=2n, ;
(2)解:由an=2n,得sin ,
設(shè) ,
則不等式sin < 等價于 ,
∵bn>0,且 ,
∴bn+1>bn,數(shù)列{bn}單調(diào)遞增,
假設(shè)存在這樣的實數(shù)λ,使得不等式 對一切n∈N*都成立,則
①當(dāng)n=4m+4和n=4m+2,m∈N時,sin ,不等式 恒成立;
②當(dāng)n=4m+1,m∈N時,sin ,λ< ;
③當(dāng)n=4m+3,m∈N時,sin , .
綜上,λ∈( ),由λ是非0整數(shù),可知存在λ=1(﹣1不滿足題意,舍)滿足條件;
(3)解:由題意可知,d=0時成立;
當(dāng)d>0時,c39=c1+38d=2014,得c1=2014﹣38d.
ck=c39+(k﹣39)d=2014+(k﹣39)d,
由 ,得(2014﹣38d)[014+(k﹣39)d]=20142,得
k= = = ∈N*.
又∵ ,0<53﹣d<53.
∴53﹣d=1,2,19,53,
則d=0,52,51,34,
∴公差d的所有可能取值之和為137.
【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為q,在a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n﹣1)2n+2+4中分別令n=1,2,3,得到關(guān)于d與q的方程組,求解方程組可得 或 ,檢驗d=q=2符合題意,從而求得an=2n, ;(2)由an=2n,得sin ,設(shè) ,把原不等式轉(zhuǎn)化為 ,且 ,可得數(shù)列{bn}單調(diào)遞增,假設(shè)存在這樣的實數(shù)λ,使得不等式 對一切n∈N*都成立,分①n=4m+4和n=4m+2,m∈N,②n=4m+1,m∈N,③n=4m+3,m∈N時求解非0整數(shù)λ的值;(3)由題意可知,d=0時成立;當(dāng)d>0時,結(jié)合 ,得(2014﹣38d)[2014+(k﹣39)d]=20142 , 即k= = = ∈N* . 再由d>0且c1>0求出λ的所有可能取值得答案.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,設(shè)右焦點為,過原點的直線與橢圓交于兩點,線段的中點為,線段的中點為,且.
(1)求弦的長;
(2)當(dāng)直線的斜率,且直線時, 交橢圓于,若點在第一象限,求證:直線與軸圍成一個等腰三角形.
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【題目】在一次馬拉松比賽中,30名運動員的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示.若將運動員按成績由好到差編號為1﹣30號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取6人,則其中成績在區(qū)間[130,151]上的運動員人數(shù)是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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【題目】如圖所示,在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD,為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ,在山坡的A處測得∠DAC=15°,沿山坡前進(jìn)50m到達(dá)B處,又測得∠DBC=45°,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ= .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2+x+m)ex(其中m∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).若在x=﹣3處函數(shù)f (x)有極大值,則函數(shù)f (x)的極小值是 .
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【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足 =1,公差d∈(﹣1,0),當(dāng)且僅當(dāng)n=9時,數(shù)列{an}的前n項和Sn取得最大值,則該數(shù)列首項a1的取值范圍是( )
A.( , )
B.[ , ]
C.( , )
D.[ , ]
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn , 且a3=7,S11=143, (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=2 +2n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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【題目】若△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=2,C= .
(1)若b= ,求角B;
(2)若sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ABC的面積.
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【題目】已知{ an}是一個公差大于0的等差數(shù)列,且滿足a3a6=55,a2+a7=16.
(1)求數(shù)列{ an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足 +…+ =an (n∈N* ) 求數(shù)列{bn}的前n項和Sn .
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