Question

【題目】若數(shù)列對任意連續(xù)三項，均有，則稱該數(shù)列為“跳躍數(shù)列”.

（1）判斷下列兩個數(shù)列是否是跳躍數(shù)列：

①等差數(shù)列：；

②等比數(shù)列：；

（2）若數(shù)列滿足對任何正整數(shù)，均有.證明：數(shù)列是跳躍數(shù)列的充分必要條件是.

（3）跳躍數(shù)列滿足對任意正整數(shù)均有，求首項的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）① 等差數(shù)列：不是跳躍數(shù)列；② 等比數(shù)列：是跳躍數(shù)列.（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）①數(shù)列通項公式為，計算可得：，所以它不是跳躍數(shù)列；②數(shù)列通項公式為：，計算可得：，所以它是跳躍數(shù)列；

（2）必要性：若，則是單調(diào)遞增數(shù)列，若，是常數(shù)列，均不是跳躍數(shù)列；充分性：用數(shù)學(xué)歸納法證明證明，命題成立，若時，可得：，所以當(dāng)時命題也成立；

（3）有已知可得：，，若，則，解得；若，則，解得，

由，則，得；當(dāng)，則，得，問題得解.

（1）①等差數(shù)列：通項公式為：

所以此數(shù)列不是跳躍數(shù)列；

②等比數(shù)列：通項公式為：

所以此數(shù)列是跳躍數(shù)列

（2）必要性：

若，則是單調(diào)遞增數(shù)列，不是跳躍數(shù)列；

若，是常數(shù)列，不是跳躍數(shù)列.

充分性：（下面用數(shù)學(xué)歸納法證明）

若，則對任何正整數(shù)，均有成立.

當(dāng)時，， ，

，

，

所以命題成立

若時，，

則，

，

所以當(dāng)時命題也成立，

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可知命題成立，數(shù)列滿足，

故是跳躍數(shù)列.

（3）

若，則，

解得；

若，則，

解得；

若，則，所以，

若，則，所以，

所以，

此時對任何正整數(shù)，均有