在平面直角坐標系中，已知A1（-3，0）A2（3，0）P（x，y）M（
x2-9
，0），若向量
A1P
，λ
OM
，
A2P
滿足(
OM
)2=3
A1P
•
A2P

（1）求P點的軌跡方程，并判斷P點的軌跡是怎樣的曲線；
（2）過點A1且斜率為1的直線與（1）中的曲線相交的另一點為B，能否在直線x=-9上找一點C，使△A1BC為正三角形．
分析：（1）直接由已知中點的坐標得到向量的坐標，代入(
OM
)2=3
A1P
•
A2P
整理得答案；
（2）求出過點A1且斜率為1的直線方程，和（1）中橢圓聯(lián)立后求出兩個焦點的坐標，設出C的坐標，利用∵△A1BC是正三角形得到邊長相等，由邊長相等得到矛盾的式子，從而說明在直線x=-9上找不到一點C，使△A1BC為正三角形．
解答：解：（1）由A1（-3，0），A2（3，0），P（x，y），M（
x2-9
，0），
可得
A1P
=(x+3，y)， 
A2p
=(x-3，y)，
OM
=(
x2-9
，0)，
∵(
OM
)2=3
A1P
•
A2P
，∴x2-9=3（x+3，y）•（x-3，y），
即x2-9=3x2+3y2-27，也就是2x2+3y2-18=0，即
x2
9
+
y2
6
=1，
故P點的軌跡是與6為長軸長，2
3
為焦距，焦點在x軸上的橢圓；
（2）過點A1且斜率為1的直線方程為y=x+3，
由
y=x+3
x2
9
+
y2
6
=1
，得5x2+18x+9=0，x1=-3，  x2=-
3
5
．
從而|A1B|=
1+k2
|x2-x1|=
12
5
2
．
設C（-9，y），則|A1C|=
(-9+3)2+(y-0)2
=
y2+36
．
∵△A1BC是正三角形，∴|A1B|=|A1C|，
y2+36
=
12
5
2
，
即y2=-
612
25
，無解，
∴在直線x=-9上找不到點C，使△A1BC是正三角形．
點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了平面向量的坐標運算，考查了兩點間距離的求法，是中高檔題．
練習冊系列答案
相關習題

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在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點，則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，下列函數(shù)圖象關于原點對稱的是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=
 
．

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