Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的零點個數(shù)；

（2）若，使得，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）利用的符號討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得零點的個數(shù).

（2）不等式有解等價于對任意恒成立即，構(gòu)建新函數(shù)，求出后分和分類討論可得實數(shù)的取值范圍.

解：（1），即，

則，

令解得.

當(dāng)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，.

因為，

所以.

又，，

所以，，

所以分別在區(qū)間上各存在一個零點，函數(shù)存在兩個零點.

（2）假設(shè)對任意恒成立，

即對任意恒成立.

令，則.

①當(dāng)，即時，且不恒為0，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又，所以對任意恒成立.

故不符合題意；

②當(dāng)時，令，得；令，得.

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，即當(dāng)時，存在，使，即.

故符合題意.

綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.