Question

（本題滿分12分）

已知函數(shù)。

（I）求的最小值；

（II）若對所有都有，求實數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時，取得最小值。 （Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）的定義域為，的導(dǎo)數(shù)。

令，解得；令，解得。

從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

所以，當(dāng)時，取得最小值。

（Ⅱ）解法一：令，則，    

①若，當(dāng)時，，

故在上為增函數(shù)，

所以，時，，即。                

②若，方程的根為 ，

此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)。所以，時，即，與題設(shè)相矛盾。

綜上，滿足條件的實數(shù)的取值范圍是。

解法二：依題意，得在上恒成立，

即不等式對于恒成立。 令，則。 當(dāng)時，因為，故是上的增函數(shù)，所以的最小值是，從而實數(shù)的取值范圍是。

考點(diǎn)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)極值、最值。

點(diǎn)評：典型題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是高考必考內(nèi)容，注意解答成立問題的一般方法步驟。恒成立問題，通過分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識加以解答。這體現(xiàn)了幾道此類題的一般方法步驟。