Question

如圖，直角三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-2，0），直角頂點(diǎn)B(0，-2

2

)，頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)P為線段OA的中點(diǎn)
（1）求BC邊所在直線方程；
（2）M為直角三角形ABC外接圓的圓心，求圓M的方程；
（3）求過(guò)（-2，4）與圓相切的直線方程．

Answer 1

分析：（1）易知k_AB=-

2

因?yàn)锳B⊥BC，從而求得k_CB=

2

2

，由點(diǎn)斜式求和直線BC的方程．
（2）由y=

2

2

x-2

2

．令令y=0，得C（4，0），求得AC的中點(diǎn)即圓心，再求得半徑AM=3，可寫(xiě)出外接圓的方程．
（3）當(dāng)斜率不存在時(shí)，切線方程為x=-2，驗(yàn)證符合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程由圓心到直線的距離等于半徑求解即可．

解答：解：（1）∵k_AB=-

2

，AB⊥BC，
∴k_CB=

2

2

，
∴直線BC：y=

2

2

x-2

2

．

（2）由y=

2

2

x-2

2

．令y=0，得：C（4，0），
∴圓心M（1，0），
又∵AM=3，
∴外接圓的方程為（x-1）²+y²=9．

（3）當(dāng)斜率不存在時(shí)，切線方程為x=-2
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-4=k（x+2），
由d=

|k+2k+4|

k2+1

=3，
解得k=-

7

24

即切線方程為7x+24y-82=0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及方程的應(yīng)用，主要涉及了直線與直線垂直，直角三角形的外接圓的求法及圓的切線的求法，同時(shí)，涉及到直線的斜率時(shí)，要注意是否存在．