【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E: =1(a>b>0)的離心率為 ,焦距為2.(14分)
(Ⅰ)求橢圓E的方程.
(Ⅱ)如圖,該直線l:y=k1x﹣ 交橢圓E于A,B兩點,C是橢圓E上的一點,直線OC的斜率為k2 , 且看k1k2= ,M是線段OC延長線上一點,且|MC|:|AB|=2:3,⊙M的半徑為|MC|,OS,OT是⊙M的兩條切線,切點分別為S,T,求∠SOT的最大值,并求取得最大值時直線l的斜率.
【答案】解:(Ⅰ)由題意知, ,解得a= ,b=1.
∴橢圓E的方程為 ;
(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),
聯(lián)立 ,得 .
由題意得△= >0.
, .
∴|AB|= .
由題意可知圓M的半徑r為
r= .
由題意設(shè)知, ,∴ .
因此直線OC的方程為 .
聯(lián)立 ,得 .
因此,|OC|= .
由題意可知,sin = .
而 = .
令t= ,則t>1, ∈(0,1),
因此, = ≥1.
當(dāng)且僅當(dāng) ,即t=2時等式成立,此時 .
∴ ,因此 .
∴∠SOT的最大值為 .
綜上所述:∠SOT的最大值為 ,取得最大值時直線l的斜率為 .
【解析】(Ⅰ)由題意得關(guān)于a,b,c的方程組,求解方程組得a,b的值,則橢圓方程可求;
(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A,B的橫坐標(biāo)的和與積,由弦長公式求得|AB|,由題意可知圓M的半徑r,則r= .由題意設(shè)知 .得到直線OC的方程,與橢圓方程聯(lián)立,求得C點坐標(biāo),可得|OC|,由題意可知,sin = .轉(zhuǎn)化為關(guān)于k1的函數(shù),換元后利用配方法求得∠SOT的最大值為 ,取得最大值時直線l的斜率為 .
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的值域和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點,需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最。ù螅⿺(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的;橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時,f(x)=x2+2x.
(1)現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示,請補(bǔ)全函數(shù)f(x)的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的遞增區(qū)間;
(2)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的值域;
(3)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式.
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【題目】已知集合M={(x,y)|f(x,y)=0},若對任意P1(x1 , y1)∈M,均不存在P2(x2 , y2)∈M使得x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M為“好集合”,下列集合為“好集合”的是( 。
A.M={(x,y)|y﹣lnx=0}
B.M={(x,y)|y﹣x2﹣1=0}
C.M={(x,y)|(x﹣2)2+y2﹣2=0}
D.M={(x,y)|x2﹣2y2﹣1=0}
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【題目】函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f '(x)的圖象如圖所示, 其中-3,2,4是f '(x)=0的根, 現(xiàn)給出下列命題:
(1) f(4)是f(x)的極小值;
(2) f(2)是f(x)極大值;
(3) f(-2)是f(x)極大值;
(4) f(3)是f(x)極小值;
(5) f(-3)是f(x)極大值.
其中正確的命題是 ________________.(填上正確命題的序號)
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【題目】如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的,G是 的中點.(12分)
(Ⅰ)設(shè)P是 上的一點,且AP⊥BE,求∠CBP的大;
(Ⅱ)當(dāng)AB=3,AD=2時,求二面角E﹣AG﹣C的大。
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【題目】在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以BD的中點O為球心,BD為直徑的球面交PD于點M.
(1)求證:平面ABM⊥平面PCD;
(2)求直線PC與平面ABM所成的角的正切值.
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【題目】某廠有容量300噸的水塔一個,每天從早六點到晚十點供應(yīng)生活和生產(chǎn)用水,已知:該廠生活用水每小時10噸,工業(yè)用水總量W(噸)與時間t(單位:小時,規(guī)定早晨六點時t=0)的函數(shù)關(guān)系為W=100 ,水塔的進(jìn)水量有10級,第一級每小時水10噸,以后每提高一級,進(jìn)水量增加10噸.若某天水塔原有水100噸,在供應(yīng)同時打開進(jìn)水管.問該天進(jìn)水量應(yīng)選擇幾級,既能保證該廠用水(即水塔中水不空),又不會使水溢出?
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的右焦點為F,過點F的直線交y軸于點N,交橢圓C于點A、P(P在第一象限),過點P作y軸的垂線交橢圓C于另外一點Q.若 .
(1)設(shè)直線PF、QF的斜率分別為k、k',求證: 為定值;
(2)若 且△APQ的面積為 ,求橢圓C的方程.
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【題目】一臺機(jī)器由于使用時間較長,生產(chǎn)的零件有一些缺損.按不同轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的零件有缺損的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒) | 16 | 4 | 12 | 8 |
每小時生產(chǎn)有缺損零件數(shù)y(個) | 11 | 9 | 8 | 5 |
(1)作出散點圖;
(2)如果y與x線性相關(guān),求出回歸直線方程;
(3)若實際生產(chǎn)中,允許每小時的產(chǎn)品中有缺損的零件最多為10個,那么,機(jī)器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
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