【題目】某校初一年級全年級共有名學(xué)生,為了拓展學(xué)生的知識面,在放寒假時要求學(xué)生在假期期間進行廣泛的閱讀,開學(xué)后老師對全年級學(xué)生的閱讀量進行了問卷調(diào)查,得到了如圖所示的頻率分布直方圖(部分已被損毀),統(tǒng)計人員記得根據(jù)頻率直方圖計算出學(xué)生的平均閱讀量為萬字.根據(jù)閱讀量分組按分層抽樣的方法從全年級人中抽出人來作進一步調(diào)查.
(1)從抽出的人中選出人來擔任正副組長,求這兩個組長中至少有一人的閱讀量少于萬字的概率;
(2)為進一步了解廣泛閱讀對今后學(xué)習(xí)的影響,現(xiàn)從抽出的人中挑選出閱讀量低于萬字和高于萬字的同學(xué),再從中隨機選出人來長期跟蹤調(diào)查,求這人中來自閱讀量為萬到萬字的人數(shù)的概率分布列和期望值.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】試題分析:設(shè)閱讀量為5萬到7萬的小矩形的面積為,閱讀量為7萬到9萬的小矩形的面積為,由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程組,求出,,按分層抽樣的方法在各段抽得的人數(shù)依次為:2人,4人,6人,5人,3人.從而求出這兩個組長中至少有一人的閱讀量少于7萬字的概率;(2)設(shè)3人中來自閱讀量為11萬到13萬的人數(shù)為隨機變量,由題意知隨機變量的所有可能的取值為1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出的分布列和期望.
試題解析:(1)設(shè)閱讀量為5萬到7萬的小矩形的面積為,閱讀量為7萬到9萬的小矩形的面積為,則: ,
∴,
∴按分層抽樣的方法在各段抽得的人數(shù)依次為:2人,4人,6人,5人,3人.
∴或或或,
∴從抽出的20人中選出2人來擔任正副組長,這兩個組長中至少有一人的閱讀量少于7萬字的概率為.
(2) 設(shè)3人中來自閱讀量為11萬到13萬的人數(shù)為隨機變量.
由題意知隨機變量的所有可能的取值為1,2,3.
∴
故的分布列為
∴,
∴這3人來自閱讀量為11萬到13萬的人數(shù)的期望值為.
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【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)當,時,證明:;
(Ⅱ)當時,討論函數(shù)的極值點的個數(shù).
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【題目】設(shè)函數(shù),,給定下列命題:
①若方程有兩個不同的實數(shù)根,則;
②若方程恰好只有一個實數(shù)根,則;
③若,總有恒成立,則;
④若函數(shù)有兩個極值點,則實數(shù).
則正確命題的個數(shù)為( )
A. B. C. D.
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【題目】從1到7的7個數(shù)字中取兩個偶數(shù)和三個奇數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).
試問:(1)能組成多少個不同的五位偶數(shù)?
(2)五位數(shù)中,兩個偶數(shù)排在一起的有幾個?
(3)兩個偶數(shù)不相鄰且三個奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有幾個?(所有結(jié)果均用數(shù)值表示)
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,已知圓的圓心坐標為,半徑為,以坐標原點為極點, 軸正半軸為極軸,建立極坐標系,直線的參數(shù)方程為: (為參數(shù))
(1)求圓和直線的極坐標方程;
(2)點 的極坐標為,直線與圓相較于,求的值.
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【題目】如果直線與橢圓只有一個交點,稱該直線為橢圓的“切線”.已知橢圓,點是橢圓上的任意一點,直線過點且是橢圓的“切線”.
(1)證明:過橢圓上的點的“切線”方程是;
(2)設(shè),是橢圓長軸上的兩個端點,點不在坐標軸上,直線,分別交軸于點,,過的橢圓的“切線”交軸于點,證明:點是線段的中點;
(3)點不在軸上,記橢圓的兩個焦點分別為和,判斷過的橢圓的“切線”與直線,所成夾角是否相等?并說明理由.
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【題目】公元263年左右,我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn),當圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,由此創(chuàng)立了割圓術(shù),利用割圓術(shù)劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后面兩位的近似值3.14,這就是著名的徽率.如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計的程序框圖,則輸出的n值為 (參考數(shù)據(jù):,,)
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù)y=f(x)是定義域為R的偶函數(shù).當x≥0時,,若關(guān)于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0,a,b∈R有且僅有6個不同實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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