Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x，y）為動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)，，直線PA與PB的斜率之積為．
（I）求動(dòng)點(diǎn)P軌跡E的方程；
（ II）過(guò)點(diǎn)F（1，0）的直線l交曲線E于M，N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q（M、Q不重合），求證：直線MQ過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

（I）解：由題知：…（2分）
化簡(jiǎn)得：…（4分）
（II）證明一：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），l：x=my+1，
代入整理得（m²+2）y²+2my-1=0…（6分）
∴，，…（8分）
∵M(jìn)Q的方程為
令y=0，得…（10分）
∴直線MQ過(guò)定點(diǎn)（2，0）．…（12分）
證明二：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），l：y=k（x-1），
代入整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0…（6分）
∴，，…（8分）
∵M(jìn)Q的方程為
令y=0，得…（10分）
∴直線MQ過(guò)定點(diǎn)（2，0）．…（12分）
分析：（I）利用直線PA與PB的斜率之積為，建立等式，化簡(jiǎn)，即可求得求動(dòng)點(diǎn)P軌跡E的方程；
（II）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，求得直線方程，令y=0，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．