Question

如圖，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC中點，BC=

2

AA1．
（I）證明AB₁∥平面DBC₁
（II）求異面直線AB₁與BC₁所成的角
（III）求以BC₁為棱，DBC₁與CBC₁為面的二面角的度數(shù)．

Answer 1

分析：（I）要證明線面平行，需要在面上找一條和已知直線平行的直線，根據(jù)四邊形B₁BCC₁是矩形．連接B₁C交BC₁于E，則B₁E=EC．連接DE，在△AB₁C中，AD=DC，得到DE∥AB₁，這樣題目得證．
（II）以DB為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出要用的點的坐標(biāo)，構(gòu)造兩個向量的方向向量，方向向量所成的角的余弦值的絕對值就是要求的角的余弦值，本題比較特殊是一個直角．
（III）要求兩個平面所成的角，需要先寫出兩個平面的法向量，其中這兩個平面有一個法向量是已知的，另一個需要設(shè)出來，再根據(jù)法向量與平面上的向量數(shù)量積等于0，寫出一個法向量，根據(jù)向量所成的角得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，
∴四邊形B₁BCC₁是矩形．
連接B₁C交BC₁于E，則B₁E=EC．
連接DE，在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁，
又AB₁?平面DBC₁，DE?平面DBC₁，
∴AB₁∥平面DBC₁．      
（Ⅱ）設(shè)D₁是A₁C₁的中點，則DD₁⊥平面ABC．
所以，以DB為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸（如圖）建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AB=2，則B(

3

，0，0)，C（0，1，0），A（0，-1，0），B1(

3

，0，

2

)，C1(0，1，

2

)．
∴

AB1

=(

3

，1，

2

)，

BC1

=(-

3

，1，

2

)，
∵

AB1

•

BC1

=-3+1+2=0，∴

AB1

⊥

BC1

，
即，AB₁與BC₁所成的角為90°．                           
（Ⅲ）∵BC的中點F(

3

2

，

1

2

，0)，
∴

AF

=(

3

2

，

3

2

，0)，
∴可取平面CBC₁的法向量為

n

1=(-

3

，-3，0)．
設(shè)平面BC₁D的法向量為

n

2=(x，y，z)，
則

n 2⊥ DB n 2⊥ DC1

?

3 x=0 y+ 2 z=0

∴可取

n

2=(0，-

2

，1)．
∵cos?

n

1，

n

2＞=

n 1• n 2

| n 1|•| n 2|

=

3 2

12 • 3

=

2

2

，
∴面DBC₁與面CBC₁所成的二面角為45°．

點評：本題考查利用空間向量求解兩個平面之間的夾角和異面直線所成的角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，本題理論推導(dǎo)的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)字的運(yùn)算問題，本題是一個中檔題目．