已知橢圓C：的離心率為，
直線：y=x+2與原點為圓心，以橢圓C的短軸長為直
徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點的直線與橢圓交于，兩點.設(shè)直線的斜率，在軸上是否存在點，使得是以GH為底邊的等腰三角形. 如果存在，求出實數(shù)的取值范圍，如果不存在，請說明理由.

(Ⅰ).
（Ⅱ）存在滿足題意的點（m,0）且實數(shù)的取值范圍為：.

解析試題分析：(Ⅰ)利用離心率公式，得到，利用直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，得到，得到，從而得到橢圓C的方程.（Ⅱ）通過假設(shè)的方程為（），與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用韋達定理確定交點坐標關(guān)系，利用“向量法”得到. 將表示成應(yīng)用導(dǎo)數(shù)或均值定理確定的范圍.
試題解析：(Ⅰ)， 2分
∵直線：y=x+2與圓x2+y2=b2相切，
∴，解得，則a2="4." 4分
故所求橢圓C的方程為. 5分
（Ⅱ）在軸上存在點，使得是以GH為底邊的等腰三角形.  6分
理由如下：
設(shè)的方程為（），
由
因為直線與橢圓C有兩個交點，所以
所以，又因為，所以.
設(shè)，，則.     7分
.
=
.
由于等腰三角形中線與底邊互相垂直，則.    8分
所以.
故.
即
因為，所以.所以.

設(shè)，當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以
，    10分
所以  11分
（若學(xué)生用基本不等式求解無證明扣1分）
又因為，所以.  所以，.
故存在滿足題意的點（m,0）且實數(shù)的取值范圍為：.    12分
考點：1、橢圓的幾何性質(zhì)，2、直線與橢圓的位置關(guān)系，3、平面向量的坐標運算.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，動點到兩點，的距離之和等于，設(shè)點的軌跡為曲線，直線過點且與曲線交于，兩點．
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）是否存在△面積的最大值，若存在，求出△的面積；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

拋物線與直線相切，是拋物線上兩個動點，為拋物線的焦點，的垂直平分線與軸交于點，且.
（1）求的值;
（2）求點的坐標;
（3）求直線的斜率的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的離心率等于，點P在橢圓上。
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左右頂點分別為，過點的動直線與橢圓相交于兩點，是否存在定直線：，使得與的交點總在直線上？若存在，求出一個滿足條件的值；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知動圓C經(jīng)過點，且在x軸上截得弦長為2，記該圓圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點的直線m交曲線E于A，B兩點，過A，B兩點分別作曲線E的切線，兩切線交于點C，當△ABC的面積為時，求直線m的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

極坐標系中橢圓C的方程為以極點為原點，極軸為軸非負半軸，建立平面直角坐標系，且兩坐標系取相同的單位長度.
（Ⅰ）求該橢圓的直角標方程；若橢圓上任一點坐標為，求的取值范圍；
（Ⅱ）若橢圓的兩條弦交于點，且直線與的傾斜角互補，
求證:.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知動點與定點的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),記的軌跡為曲線.
（I）求曲線的方程；
（II）設(shè)直線與曲線交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為,試問：當變化時，直線與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點的坐標，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

經(jīng)過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為．點、在軌跡上，且關(guān)于軸對稱，過線段（兩端點除外）上的任意一點作直線，使直線與軌跡在點處的切線平行，設(shè)直線與軌跡交于點、．
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：；
（3）若點到直線的距離等于，且△的面積為20，求直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線，過軸上一點的直線與拋物線交于點兩點。
證明，存在唯一一點，使得為常數(shù)，并確定點的坐標。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案