Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上三點(diǎn)A（x₁，y₁），B（4，y₂），C（x₃，y₃）和焦點(diǎn)F（4，0）的距離依次成等差數(shù)列．
①求x₁+x₃；
②求證線段AC的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：①根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與其到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于e，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為A、B、C三點(diǎn)右準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列，表示出這三個(gè)距離，由等差關(guān)系轉(zhuǎn)化成等式即可化簡(jiǎn)出結(jié)論．
②由點(diǎn)差法得出直線AC的斜率與其中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再由垂直得出其垂線的斜率，由點(diǎn)斜式得出中垂線方程，發(fā)現(xiàn)其為一過(guò)定點(diǎn)的直線，得出此坐標(biāo)即可．

解答：解：①根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與其到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于e，
由A、B、C和焦點(diǎn)F（4，0）的距離依次成等差數(shù)列，可得A、B、C三點(diǎn)右準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列；
即|

25

4

-x₁|+|

25

4

-x₃|=2|

25

4

-4|；
又由-5≤x₁、x₃≤5＜

25

4

；
化簡(jiǎn)可得x₁+x₃=8
②設(shè)直線AC的斜率為k，則AC中點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，t），將A（x₁，y₁），C（x₃，y₃）代入橢圓的方程，
故有

x 12 25 + y 12 9 =1 x 32 25 + y 32 9 =1

兩者作差得

(x1-x3)(x1+x3)

25

+

(y1+y3)(y1-y3)

9

=0，故得

y1-y3

x1-x3

=-  

x1+x3

25

×

9

y1+y3

，即k=-

72

50t

，故t=-

36

25k

又其垂直平分線的斜率為-

1

k

，故垂直平分線方程為y-t=-

1

k

（x-4）即y+

36

25k

=-

1

k

（x-4）故有y=-

1

k

（x-4+

36

25

）=-

1

k

（x-

64

25

）
即中垂線方程為y=-

1

k

（x-

64

25

）
∴過(guò)定點(diǎn)(

64

25

，0)

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的應(yīng)用，考查了橢圓的第二定義以及直線與橢圓相交進(jìn)常用的點(diǎn)差法用坐標(biāo)表示直線的斜率，中垂線方程的求法，及過(guò)定點(diǎn)的直線方程定點(diǎn)的求法，本題很抽象，綜合性較強(qiáng)，涉及到了多個(gè)解題的技巧，是橢圓中的一個(gè)難題．