【題目】如圖,四棱錐的底面是邊長為的正方形, 底面, 分別為的中點.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若,試問在線段上是否存在點,使得二面角 的余弦值為?若存在,確定點的位置;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)滿足條件的 存在,是 中點
【解析】試題分析:(1)證明線面平行,一般利用線面平行判定定理,即從線線平行出發(fā)給予證明,而線線平行的尋找與論證,往往需要結(jié)合平幾知識,如本題取PD中點M,利用三角形中位線性質(zhì)得,再結(jié)合平行四邊形性質(zhì)得四邊形EFMA為平行四邊形,從而得出EF∥AM,(2)涉及二面角問題,一般利用空間向量進(jìn)行解決,首先根據(jù)題意建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點坐標(biāo),利用方程組求各面的法向量,結(jié)合向量數(shù)量積求向量夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角的關(guān)系列等量關(guān)系,求出待定參數(shù)
試題解析:證明:(Ⅰ)取PD中點M,連接MF、MA,
在△PCD中,F為PC的中點,∴,
正方形ABCD中E為AB中點,∴,∴,
故四邊形EFMA為平行四邊形,∴EF∥AM,
又∵EF平面PAD,AM平面PAD,
∴EF∥平面PAD;
(Ⅱ)結(jié)論:滿足條件的Q存在,是EF中點.理由如下:
如圖:以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,
則P(0,0,2),B(0,1,0),C(1,1,0),E(0, ,0),F(, ,1),
由題易知平面PAD的法向量為=(0,1,0),
假設(shè)存在Q滿足條件:設(shè),
∵,∴, ,λ∈,
設(shè)平面PAQ的法向量為,
由,可得,
∴,
由已知: ,解得: ,
所以滿足條件的Q存在,是EF中點.
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【題目】已知若a=30.6,b=log3 0.6,c=0.63,則( 。
A. a>c>b B. a>b>c C. c>b>a D. b>c>a
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【題目】用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角至少有一個銳角”,正確的假設(shè)是( )
A. 三角形的內(nèi)角至多有兩個銳角
B. 三角形的內(nèi)角至多有一個銳角
C. 三角形的內(nèi)角沒有一個銳角
D. 三角形的內(nèi)角沒有一個銳角或至少有兩個銳角
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【題目】隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民的儲蓄存款逐年增長,設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表:
(I)求y關(guān)于t的回歸方程;
(II)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2015年(t=6)的人民幣儲蓄存款。
附:回歸方程中,
,。
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【題目】在研究塞卡病毒(Zika virus)某種疫苗的過程中,為了研究小白鼠連續(xù)接種該種疫苗后出現(xiàn)癥狀的情況,做接種試驗,試驗設(shè)計每天接種一次,連續(xù)接種3天為一個接種周期.已知小白鼠接種后當(dāng)天出現(xiàn)癥狀的概率為,假設(shè)每次接種后當(dāng)天是否出現(xiàn)癥狀與上次接種無關(guān).
(1)若出現(xiàn)癥狀即停止試驗,求試驗至多持續(xù)一個接種周期的概率;
(2)若在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次貨3次癥狀,則這個接種周期結(jié)束后終止試驗,試驗至多持續(xù)3個周期,設(shè)接種試驗持續(xù)的接種周期數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個極值點和,求證:b<2a
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【題目】用0,1,…,9十個數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為( )
A. 243
B. 252
C. 261
D. 279
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C過點(0,2),其焦點為F1(﹣,0),F(xiàn)2(,0).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點P在橢圓C上,且PF1=4,求△PF1F2的面積.
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