定義在R上的非零偶函數(shù)y=f(x)滿足:對(duì)任意的x,y∈[0,+∞)都有f(x+y)=f(x)•f(y)成立,且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1.
(1)若f(1)=2,求f(-4)的值;
(2)證明:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù);
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=f(
a(x-1)x+1
)
在(2,+∞)上有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)令x=y=1可求得f(2),令x=y=2可求得f(4),由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f(-4)=f(4);
(2)定義法:設(shè)0<x1<x2,則f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]=f(x1)-f(x2-x1)f(x1)=f(x1)[1-f(x2-x1)],根據(jù)已知條件可判斷差的符號(hào),從而可證明f(x1)<f(x2);
(3)由偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(
a(x-1)
x+1
)
可化為f(|x|)=f(|
a(x-1)
x+1
|),由單調(diào)性可得x=|
a(x-1)
x+1
|,則問(wèn)題等價(jià)于|a|=
x(x+1)
x-1
在(2,+∞)上有兩個(gè)不等實(shí)根,
x(x+1)
x-1
=(x-1)+
2
x-1
+3,令t=x-1,則可作出t+
2
t
+3
的草圖,根據(jù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得不等式,解出即可;
解答:精英家教網(wǎng)(1)解:令x=y=1,則有f(1+1)=f(1)•f(1)=2•2=4,
∴f(2)=4,
令x=y=2,則有f(2+2)=f(2)•f(2)=4•4=16,
∴f(4)=16,又∵y=f(x)為定義在R上的偶函數(shù),
∴f(-4)=f(4)=16;
(2)證明:設(shè)0<x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]=f(x1)-f(x2-x1)f(x1)=f(x1)[1-f(x2-x1)],
∵x>0時(shí)f(x)>1>0,0<x1<x2,
∴x2-x1>0,f(x1)>0,f(x2-x1)>1,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù);
(3)解:由偶函數(shù)的性質(zhì)可得,f(x)=f(
a(x-1)
x+1
)
可化為f(|x|)=f(|
a(x-1)
x+1
|),
由(2)知f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增,
∴x∈(2,+∞)時(shí),有x=|
a(x-1)
x+1
|,即|a|=
x(x+1)
x-1
在(2,+∞)上有兩個(gè)不等實(shí)根,
x(x+1)
x-1
=(x-1)+
2
x-1
+3,
令t=x-1,則t>1,t+
2
t
+3
≥2
2
+3,當(dāng)t=
2
時(shí)取等號(hào),
作出t+
2
t
+3的草圖,如圖所示:
由圖象可知,要使方程f(x)=f(
a(x-1)
x+1
)
在(2,+∞)上有兩個(gè)不同的實(shí)根,只需2
2
+3<|a|<6,
解得2
2
+3<a<6,或-6<a<-2
2
-3.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用,考查抽象方程的求解,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.
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已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b都有f(a•b)=af(b)+bf(a),則(  )

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已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b都有f(a•b)=af(b)+bf(a),則


  1. A.
    f(x)是奇函數(shù),但不是偶函數(shù)
  2. B.
    f(x)是偶函數(shù),但不是奇函數(shù)
  3. C.
    f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)
  4. D.
    f(x)既非奇函數(shù),又非偶函

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