如圖(1)，四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DB＝2，DC＝1，BC＝，AB＝AD＝.將圖(1)沿直線BD折起，使得二面角A­BD­C為60°，如圖(2)．

(1)求證：AE⊥平面BDC；
(2)求直線AC與平面ABD所成角的余弦值．
(1)見解析   (2)
解：(1)證明：取BD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，
則AF＝1，EF＝，∠AFE＝60°.
由余弦定理知
AE＝＝.
∵AE2＋EF2＝AF2，∴AE⊥EF.
∵AB＝AD，F(xiàn)為BD中點(diǎn)．∴BD⊥AF.
又BD＝2，DC＝1，BC＝，
∴BD2＋DC2＝BC2，
即BD⊥CD.
又E為BC中點(diǎn)，EF∥CD，∴BD⊥EF.
又EF∩AF＝F，
∴BD⊥平面AEF.又BD⊥AE，
∵BD∩EF＝F，
∴AE⊥平面BDC.
(2)以E為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A，

C，
B，
D，＝(2,0,0)，
＝，＝.
設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)，
由得
取z＝，
則y＝－3，又∵n＝(0，－3，)．
∴cos〈n，〉＝＝－.
故直線AC與平面ABD所成角的余弦值為.
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，側(cè)棱SA底面ABCD，且SA＝2，AD＝DC＝1

（1）若點(diǎn)E在SD上，且證明：平面；
（2）若三棱錐S－ABC的體積，求面SAD與面SBC所成二面角的正弦值的大小

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如圖，四棱錐中,，底面為梯形，，，且，.

（1）求證：;
（2）求二面角的余弦值.

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如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
 
(1)求證：BE∥平面PAD；
(2)若BE⊥平面PCD，求平面EBD與平面BDC夾角的余弦值．

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如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，設(shè)，過點(diǎn)作交于，作交于。沿將翻折成使平面平面；沿將翻折成使平面平面．

（1）求證：平面；
（2）是否存在正實(shí)數(shù)，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，圓錐的高PO＝4，底面半徑OB＝2，D為PO的中點(diǎn)，E為母線PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面圓周上一點(diǎn)，滿足EF⊥DE.

(1)求異面直線EF與BD所成角的余弦值；
(2)求二面角OOFE的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則平面ABC的一個(gè)單位法向量是(　　)
A．(,,-)B．(,-,)C．(-,,)D．(-,-,-)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為(　　)．
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知空間四邊形ABCD中，O是空間中任意一點(diǎn)，點(diǎn)M在OA上，且OM=2MA，N為BC中點(diǎn)，則=（ ）
A．B．
C．D．

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