Question

如圖，在面積為18的△ABC中，AB=5，雙曲線E過點A，且以B、C為焦點，已知=27，=54．
（1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求雙曲線E的方程；
（2）是否存在過點D（1，1）的直線l，使l與雙曲線交于不同的兩點M、N，且=0．如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以BC所在直線為x軸，線段BC的中點O為原點，線段BC的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系．設(shè)∠BAC=α，∠ACB=β，|AC|=m，|BC|=n，則⇒m=9；⇒n=2．由此能求出雙曲線E的方程．
（2）架設(shè)存在滿足條件的直線l，使l與雙曲線E交于不同的兩點M、N，并設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）且x₁≠x₂，由=0知點D是線段MN的中點，所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．由此能夠推導(dǎo)出直線l的方程為9x-4y-5=0，但由得45x²-90x+160=0，△＜0，所以不存在滿足條件的直線l．
解答：解：（1）以BC所在直線為x軸，線段BC的中點O為原點，
線段BC的中垂線為y軸建立如圖所示坐標(biāo)系
設(shè)∠BAC=α，∠ACB=β，|AC|=m，|BC|=n
則⇒
兩式平方相加得：m=9
又⇒
兩式平方相加得：n=2
設(shè)雙曲線方程為=1
有雙曲線的定義，有2a=||AC|-|AB||=|m-5|=4  即a=2
又2c=n=2⇒c=
∴b²=c²-a²=9
∴雙曲線E的方程為=1
（2）架設(shè)存在滿足條件的直線l，使l與雙曲線E交于不同的兩點M、N，
并設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）且x₁≠x₂
由=0知點D是線段MN的中點，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2
由于點M、N都在雙曲線E上
∴，將兩式相減得：
=0⇒
即直線l的斜率為
此時直線l的方程為y-1=（x-1），即9x-4y-5=0
但由⇒45x²-90x+160=0⇒△＜0
∴不存在滿足條件的直線l．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．