Question

正四面體S-ABC中，E為SA的中點(diǎn)，F(xiàn)為△ABC的中心，則直線EF與平面ABC所成的角的正切值是（　　）

• A、

  3

  10

  10

• B、1
• C、

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

分析：做出輔助線，連接AF并延長(zhǎng)交BC于H，取線段AF的中點(diǎn)G，連接EG，證出線面角，把線面角放到一個(gè)直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到結(jié)果，

解答：解：連接SF，則SF⊥平面ABC．連接AF并延長(zhǎng)交BC于H，取線段AF的中點(diǎn)G，連接EG，由E為SA的中點(diǎn)，則EG∥SF，
∴EG⊥平面ABC，
∴∠EFG即為EF與平面ABC所成的角． 
設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a，則AH=

3

2

a，且AF=

3

3

a，
在Rt△AGE中，AE=

1

2

a，AG=

1

2

AF=

3

6

a，∠EGA=90°，
∴EG=AE²-AG²=

6

6

a．
在Rt△EGF中，F(xiàn)G=

1

2

AF=

3

6

a，EG=

6

6

a，∠EGF=90°，
∴tan∠EFG=

2

即EF與平面ABC所成的角的正切值是

2

，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成的角，本題解題的關(guān)鍵是先做出線面角，再證出線面角，最后把角放到一個(gè)三角形中解出結(jié)果．