Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），對(duì)任意的x∈R，有f（x）+f（-x）=x2，且x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜x．若f（1-a）-f（a）≥-a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．

Answer 1

【答案】[，+∞）

【解析】

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x2，判斷函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解：∵f（x）+f（-x）=x2，

∴f（-x）-x2=x2-f（x）=-[f（x）-x2]，

設(shè)g（x）=f（x）-x2，

則g（x）是奇函數(shù)，

且g′（x）=f′（x）-x．

∵x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜x．

∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＜0．即此時(shí)g（x）為減函數(shù)，

∵g（x）是奇函數(shù)，

∴當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）也是減函數(shù)，

即g（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，

則若f（1-a）-f（a）≥-a，

等價(jià)為g（1-a）+（1-a）2-g（a）-a2≥-a，

即g（1-a）+-a+a2-g（a）-a2≥-a，

即g（1-a）≥g（a），

即1-a≤a，

得2a≥1，即a≥，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，+∞），

故答案為：[，+∞）